第2章 §2.2函数的求导法则 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§2.2 函数的求导法则 第2章 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1设f(x)、g(x)在点可导,则有以下运算法则 (1)(f(x)±g(x)=f(x)±g(x) (2)(f(x):g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 特别地,(cf(x)′=cf'(x)(c为常数) f(x), f(xg(x)-f(xg(x) (3) (g(x)≠0) g(x) g(x) 特别地, 8(4)=8(x) )g2(x) 注:定理1中(1)、(2)可分别推广到有限个函 数相加减以及相乘的情形
一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 设f (x)、g (x)在点x可导，则有以下运算法则 ( f (x) g(x)) = f (x) g (x) ( f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x f x g x g x g x − = (1) (2) (3) 特别地, (cf (x)) = cf (x) (c为常数) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) g x g x g x 特别地, = − ( ( ) 0) g x 注: 定理 1中（1）、（2）可分别推广到有限个函 数相加减以及相乘的情形
下面只对(1)给出证明,其它证明从略 (1)(f(x)±g(x)=f(x)±g(x) 证设(x)=f(x)±g(x),则 u(x)=lim u(x+h)u(x) h→>0 h [f(x+h)±g(x+h)-[f(x)±g(x) Im h→>0 h =lim/(x+h)-f(x) ±m(x+h) h→>0 h h->0 h f(x)±g(x)故结论成立
证 设 , 则 故结论成立. (1) ( f (x) g(x)) = f (x) g (x) 下面只对（1）给出证明，其它证明从略. u x f x g x ( ) ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) ( ) limh u x h u x u x → h + − = 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim h f x h g x h f x g x → h + + − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim h h f x h f x g x h g x → → h h + − + − = = f x g x ( ) ( )
例1求下列函数的导数 1- +x+x (1)y=e+5nx(2)y (3)y=103+x0(4)y=(x-a(x-bx-c) 解(1)y=(e+5lnx)=(e)+(5lnx)=e+ X 1+x+x (2)y =(11+()y+(x)=-2+1 x X (3)y=(04+x)=(0)+(x)=101m10+10x2 (4)y=[x(a+b+c)x+(ab+bc +ac)x-abcl =3x4-2(a+b+c)x+(ab+ bc+ac 注意:有些函数,化简后再求导会简单一些
例1 求下列函数的导数 y e x x = +5ln x x x y 2 1+ + (1) (2) = 10 y 10 x x (3) = + y = (x − a)(x −b)(x −c) (4) 解 (1) ( 5ln ) x y e x = + ( ) (5ln ) x = + e x x 5 e x = + 2 1 x x y x + + = (2) 1 (1) ( ) x x = + + 2 1 1 x = − + ( ) 10 10x y x (3) = + 10 (10 ) ( ) x = + x 9 10 ln10 10 x = + x 3 2 (4) y x a b c x ab bc ac x abc = − + + + + + − [ ( ) ( ) ] 2 = − + + + + + 3 2( ) ( ) x a b c x ab bc ac 注意：有些函数，化简后再求导会简单一些
例2利用求导法则求证 (tan x)=secx,(CSc x)=-cSc x cot x LE( tan x)=sIn x)=(sin )cos x- x(cos x) COS X COsx 2 2 cosx+SIn x sec x (sin x)-cos x CSC X sInx 2 sInx =-cSc x cot x 类似可证:( (cot x)=-csc2x,(secx)= secx tan x
(csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2 利用求导法则求证 (tan ) sec , 2 x = x 证 (csc x) = −csc x cot x . = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cos x 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x