第3章 §32洛必达法则 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§3.2 洛必达法则 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第3章
洛比塔法则 函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究 函数之商的极限m()(0或型 g(x)0 转化洛必达法则 导数之商的极限mnf(x) g(x)
( ) ( ) lim g x f x 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 0 0 ( 或 型) ( ) ( ) lim g x f x 本节研究: 洛必达法则 洛比塔法则
1.或-型未定式 定理(洛必达法则 l)limf(x)=lmF(x)=0或imf(x)=∞,imF(x)=∞ x →a xX→a x→a x→a 2)f(x)与F(x)在∪a)内可导,且F(x)≠0 3)1mf④在(或为) x→>aF"(x) lim/(r) lim x→a F(x xa F(x) 说明:定理中x→>a换为 x→a,x→a,x→∞,x→)+o,x→)- 之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立
( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x = 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 且F(x) 0 定理 (洛必达法则) lim ( ) , lim ( ) x a x a f x F x → → 1) lim ( ) lim ( ) 0 或 = = x a x a f x F x → → = = 说明: 定理 中 x →a 换为 , → + x a , → − x a x →, x →− 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 仍然成立. x → +, 1. 0 0 或 型未定式
例1求lim x->0 2 型 x 解原式=lime= x→>02x-1 tanx-=x 例2求1im 型 x→>0x-Snx 解注意到sinx~x 2 原式=lim tanx-x sec x =lim x->0 x->03x tan x lim x->03x sec- x=1+ tanx 3
例1 求 解 原式 型 0 0 2 0 1 lim . x x e → x x − − 0 lim 2 1 x x e → x = − = −1 例2 求 . sin tan lim 2 0 x x x x x − → 解 注意到 sin x ～ 原式 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → 2 2 0 3 tan lim x x x→ = x x 2 2 sec =1+ tan 3 1 = x 型 0 0
例3求lin x3-3x+2 型 x-13 x2-x+1 解原式=im 3x2-3 x→13x2-2x-1 注意:条件满足时洛必达法则可连续使用有限次! 6x3 x-)16x-22 注意:不是未定式不能用洛必达法则! 6x x16x-2x-16
注意: 条件满足时洛必达法则可连续使用有限次 ! 例3 求 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 解 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x −