线性代数第一节实二次型及其标准型f(x1,x2,x3)=2x2-3x+4x-2x2+3x2X3COXAX(xx,x)XX若B=则有 f(x,X2,x3)=XTBX但故 B不是f(xi,x2,x3)的矩阵。BT±B,首高教育出社1新时代大学数学票利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 2 – 3x2 2 + 4x3 2 - 2 x1x2 + 3x2 x3 则有 f (x1 , x2 , x3 ) = XTBX 但 BT ≠ B, 故 B 不是f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵。 若 B =
线性代数第一节实二次型及其标准型二次型f(xi,x2.. x)agx, 也记为 f(X)=XTAX.(AT=A)ojo其中对称矩阵A的秩也称为二次型f(X的秩03在例1中，f(x,2,x)的矩阵A123-+2R(A)=3，故 f(xi,X2,x3) 的秩为3高教育出版社11新时代大学数学票利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 二次型 也记为 f (X) = X TAX. (AT = A) 其中对称矩阵A 的秩也称为二次型 f (X)的秩. 在例1 中， f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵 R(A) = 3 , 故 f (x1 , x2 , x3 ) 的秩为 3
线性代数第一节实二次型及其标准型二、合同变换1.矩阵合同CTAC=B.定义对n阶矩阵A,B，若存在可逆矩阵C.使A与B等价：PAQ=B，P,Q可逆则称A与B合同A与B相似：P-1AP=B，P可逆矩阵合同具有以下性质：（1）反身性：矩阵A与自身合同：(2）对称性：若A与B合同，则B与A合同：(3）传递性：若A与B合同，且B与C合同，则A与C合同首高教育出社11新时代大学数学系利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 二、合同变换 1. 矩阵合同 定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合同. C TAC = B, A与B等价：PAQ = B, P, Q 可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆；
线性代数第一节实二次型及其标准型2.合同变换n71f(xi,x2..xn)agx,xjxCiyic122Cinynxc21yic22y2C2nyn(1)口口口口口口x,cmycn2y2cumyn(1)式称为从yi，……,y,到xi,…,x,的线性变换高教育出服社1新时代大学数学系利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 2. 合同变换 (1)式称为从 y1 , ., yn到 x1 , ., xn 的线性变换
线性代数x,CuCi2.y2Cinync21c22y2c2nyn二By口8CiniC12L口口00口口,cy,cn2ycmJn口X2C2nC22C21XOY令C口福口口口口1口口广LOyn口OCutnCn2厂则(1)式可记为(2)X=CY若C为可逆矩阵，则2）式称为可逆变换，若C为正交矩阵，则(2)式称为正交变换(3)当C可逆时，（2）式又可记为Y=C-1X高教育出社11新时代大学数学票利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 令 则 (1) 式可记为 X = C Y (2) 若C 为可逆矩阵，则(2)式称为可逆变换， 若C 为正交矩阵，则(2)式称为正交变换. 当C 可逆时， (2)式又可记为 Y = C -1 X (3)