=an cos ndx =a, 可得 T f(x)cos nxdx (n=1, 2, 3," .) (3)求bn f(xsin ndx sin ndx 一 2 T +∑ [ap cos kx sin ndx+b, sin kx ndx]=b, T T 可得 ∫f(x) )sin ndx(n=1,2,3,…)
an nxdx 2 cos , an an f (x)cosnxdx 1 (n 1,2,3,) (3) . 求bn bn f (x)sinnxdx 1 (n 1,2,3,) nxdx a f x nxdx sin 2 ( )sin 0 [ cos sin sin sin ] 1 a kx nxdx bk kx nxdx n k , bn 可得 可得
从而得到傅里叶系数 T f()cos ndx, (n=0, 1, 2,.) b=厂/(x)mx,(n=12,) 12兀 = n f(x)cos ndx, (n=0, 1, 2,"..) 或 兀0 2兀 f()sin ndx, (n=1, 2, .)
( )sin , ( 1,2, ) 1 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 b f x nxdx n a f x nxdx n n n 2 0 2 0 ( )sin , ( 1,2, ) 1 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 b f x nxdx n a f x nxdx n n n 或 从而得到傅里叶系数
把以上得到的系数代入三角级数 0+∑(a 2 n=l cos nr +b sin nx 该级数称为傅里叶级数 问题: f(x)条件?0+∑( a. cos nr+ b sin nx) 2 n
把以上得到的系数代入三角级数 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 问题: 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ? n an nx bn nx a f x 条件 该级数称为傅里叶级数
3.三角级数的收敛性定理: 若级数+∑(an}+)收敛则级数 +∑( (a cos nx+ b sinx) 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 证Wx∈R由于n, cos nx+b, sin nx≤an+b 由M判别法即得定理结论
3. 三角级数的收敛性定理: ( ) 2 1 0 n n n a b a 若级数 收敛,则级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n n 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. , cos sin , n n n n x R 由于a nx b nx a b 由M判别法即得定理结论. 证
2.定理(收敛定理,狄利克雷( Dirichlet)充分条件) 设f(x)是以2x为周期的周期函数如果它满足 (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2)在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛并且 当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于 f(x-0)+f(x+0) 2
2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件) 设 f ( x)是以2 为周期的周期函数.如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f ( x)的傅里叶级数收敛,并且 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x); 当x是 f (x)的间断点时, 级数收敛于 2 f (x 0) f (x 0) ;