。4.1线性微分方程的一般理论 4.1.2齐线性方程的解的性质及结构 定理2如果x(t),x2(t),xk()是(4.2)的k个解，则它们的 线性组合Cx1(t)+C2x2(t)+.+Cx(t)也是(4.2)的解.这里 c:(i=1,2,n)为任意常数. 特别地，当k=n时，即方程(4.2)有解 x=Cx()+cx()+.+cx() (4.4) 它含有个任意常数，那么它是不是(4.2)的通解呢？我们说不一定， 因为通解要求C,彼此独立. 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 4.1.2 齐线性方程的解的性质及结构 定理 2 1 2 ( ), ( ),., ( ) k x t x t x t 线性组合 1 1 2 2 ( ) ( ) . ( ) k k c x t c x t c x t + + + ( 1,2,., ) 为任意常数 . i c i n = 特别地,当 1 1 2 2 ( ) ( ) . ( ) (4.4) n n x c x t c x t c x t = + + + 它含有n个任意常数, 那么它是不是(4 .2)的通解呢? ci 如果 是(4 .2)的k个解,则它们的 也是(4 .2) 的解. 这里 k n = 时, 即方程(4.2)有解 我们说不一定, 因为通解要求 彼此独立 . §4.1 线性微分方程的一般理论
x=cx()+czx2()+.+cx(t) (4.4) 例如，如果x,(t),x2(t).xm-1(t)是(4.2)解，则x,(t),x2(t)., xm-(t),xn(t)=c,(t)也是(4.2)的解，从而 x(t)=cx(t)+c2x2(t)+.+c,x(t) =(C1+2C2)x,(t)+C2x2(t).Cnxn-1(t) 是(4.2)的解，但它只含有(n-1)个常数，所以不是(4.2)的通解 那么在什么条件下(4.4)能成为(4.2)的通解呢？ 为了回答这一问题，我们给出函数线性相关及关系的概念. 结束 首而
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) n n n n x t c x t c x t c x t c c x t c x t c x t − = + + + = + + 1 2 1 1 2 1 1 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) (4.2) 例如，如果 ， 是(4.2)解，则 ， 也是 的解，从而 n n n x t x t x t x t x t x t x t kx t − − = 是(4.2)的解, 但它只含有(n-1)个常数, 所以不是(4.2)的通解. 那么在什么条件下(4.4)能成为(4.2)的通解呢? 1 1 2 2 ( ) ( ) . ( ) (4.4) n n x c x t c x t c x t = + + + 为了回答这一问题, 我们给出函数线性相关及关系的概念
函数线性相关与线性无关 设x(t),七2(t),x()是定义在[a,b]上的函数组，如果存在 不全为零的常数C1,C2,Cn,使得 C1x(t)+C2x2(t)+.+cmxn(t)≡0 对所有的t∈[，b]都成立.则称x1(t),x2(t),在xn(t)上牲关 否则就称这些函数组在所给定的区间上线性无关 (即上面方程式只有在c=0,(i=1,2,)时才成立，则称 (t),x,(t),xn(t)在[，线性无关) 例如，x,(t)=cost,x2(t)=sint,在任意区间上线性无关， (c1c0st+c2sint≡0，只有在C1=c2=0时成立) 但cos2t,sin2-1在任意区间上线性相关. 取(c1=1,c2=1) 结末帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 2 ( ), ( ),., ( ) 设 x t x t x t n 是定义在 [ , ] a b 上的函数组, 如果存在 1 2 , ,., , c c cn ( ) ( ) ( ) c x t c x t c x t 1 1 2 2 + + + n n 0 0,( 1,2,., ) i (即上面方程式只有在 c i n = = 对所有的 t a b [ , ] 都成立.则称 在 上线性相关. 1 2 ( ), ( ),., ( ) x t x t x t n [ , ] a b 1 2 在 [ , ] a b 上线性无关). ( ), ( ),., ( ) n x t x t x t 函数线性相关与线性无关 否则就称这些函数组在所给定的区间上线性无关. 不全为零的常数 使得 时才成立, 则称 2 2 但cos ,sin 1 t − 1 2 例如, x t t x t t ( ) cos , ( ) sin , = = 在任意区间上线性无关. 1 2 ( cos sin 0 c t c t + ,只有在 c c 1 2 = = 0 时成立.) 在任意区间上线性相关. 取 1 2 ( 1, 1) c c = =
重41线性微分方程的一般理论 函数组1，t,t2,t”在任意区间[a,我性无关.因为 co +ct+c2t2+.+ct"=0 (4.5) 上式左端是一个n次的多项式，它最多有n个根，即最多存在n个t满足 满足上式.所以要使上式对所有t∈[a,b]都成立，必有c:=0 (i=1,2,.). 由定义不难推出以下结论 (1)在函数组飞(t),2(t),xn(t中如果有一个函数为0， 例如：xx在)a,b上为0，而 x(t)≠0，i≠k,i=1,2,.,n,t∈ 则七(t),x2(t),xn)[线姓相关 取(Ck≠0，C,=0,i=1,k-1,k+1,n) 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 2 0 1 2 . 0 (4.5) n c c t c t c t + + + + n 满足上式 . 所以要使上式对所有 由定义不难推出以下结论. t a b [ , ] ci = 0 1 2 ( ), ( ),., ( ) x t x t x t n (1)在函数组 中如果有一个函数为0 , 例如: x t k 在 ( ) [ a , b ]上为0,而 x t i k i t a b i ( ) 0, , 1,2, [ , ] = ，n, 则 在 线性相关. 1 2 ( ), ( ),., ( ) n x t x t x t [ , ] a b 取 (c c i k k n k i = = − + 0, 0, 1,., 1, 1,., ) 2 1, , ,., n 函数组 t t t 在任意区间 [ , ] a b 上线性无关. 因为 §4.1 线性微分方程的一般理论 上式左端是一个n次的多项式,它最多有n个根, 即最多存在n个t满足 都成立, 必有 ( 1, 2,.). i =
(2)如果两个函数X(t),x2(t)比值 七（在[a,有定义。 x2(t) 则它们在a,b止线性无关，等价于七②数 x2(t) 证明设x(),x,()在a,b]线性无关.如果七( =c(c为常娄 x2(t) 则x(t)-c心，(t)三0，t∈[a,b]从而x(),x,()在a,b上线性相关.矛盾 另一方向.设回≠常数tE,b1,如果x(),七，() x2(t) 在[，b]上线性相关.则存在不全为零的常数k1,k2使得 kx1+k2x2=0,t∈[a,b] 若k1≠0.→七1=-飞 (矛盾) k 若k1=0 则应有k2≠0→X2三0 （矛盾) 由假设x,是分母 ∴.x2(t)≠0例：e,e在任意区间线性无关发 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 2 则x t cx t t a b ( ) ( ) 0 [ , ] − ， 另一方向．设 1 常数 ， 如果 2 ( ) ( ) x t x t 1 2 t a b [ , ] x t x t ( ), ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) [ , ] . ( ) ( ) 设 在 线性无关 如果 为常数 x t x t x t a b c c x t 证明 1 2 从而x t x t a b ( ), ( ) [ , ] 在 上线性相关.矛盾 （2）如果两个函数 x t x t 1 2 ( ), ( ) 比值 1 上有定义。 2 ( ) [ , ] ( ) 在 x t a b x t 则它们在 上线性无关,等价于 常数. 1 2 ( ) ( ) x t x t [ , ] a b 在 [ , ] a b 上线性相关．则存在不全为零的常数 k k 1 2 , 使得 1 1 2 2 k x k x t a b + 0, [ , ] 1 2 1 2 1 0. x k k x k 若 − （矛盾） 1 k = 0 若 则应有 k x 2 2 0 0 （矛盾） 由假设x t 2 ( ) 是分母 2 x t( ) 0 例： , 在任意区间线性无关 t t e e−