定义12.1.2设DcR2为开集, z=f(x,y),(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(x0,y0)∈D为一定点,p=(,sna)为一 个方向。如果极限 lin f(xo + cosa, yo +tsin a)-f(xo, yo →0+ t 存在,则称此极限为函数∫在点(xn,y)的沿方向v的方向导数,记为 (x,y)
定义 12.1.2 设 D⊂ 2 R 为开集， z f xy xy = ( , ), ( , )∈ D 是定义在 D 上的二元函数， ),( 00 yx ∈D 为一定点，v = α α)sin,(cos 为一 个方向。如果极限 t yxftytxf t ),()sin,cos( lim 0 0 00 0 + + − +→ α α 存在，则称此极限为函数 f 在点 ),( 00 yx 的沿方向v 的方向导数，记为 ),( 00 yx v f ∂ ∂
定义12.1.2设DcR2为开集, f(x,y),(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(xny)∈D为一定点,p=(cosa,sna)为一 个方向。如果极限 f(xo +t cos a, yo+tsin a)-f(xo, yo) →0+ t 存在,则称此极限为函数∫在点(xn,y)的沿方向v的方向导数,记为 Xo, yo 由于x轴和y轴的正向的方向分别为e1=(10)和e2=(0,),由定义立 即得到,函数f(x,y)在点(x,y)处关于x(或y)可偏导的充分必要条 件为f(x,y)沿方向e1和-e(或方向e2和-e2)的方向导数都存在且为 相反数,且这时成立 a(x,)=9 (x0,y)(或 )=(x0,y0)
由于x轴和 y 轴的正向的方向分别为 )1,0()0,1( e1 = 和 e2 = ，由定义立 即得到，函数 yxf ),( 在点 ),( 00 yx 处关于x（或 y ）可偏导的充分必要条 件为 yxf ),( 沿方向 1 e 和 1 − e （或方向 2 e 和 2 − e ）的方向导数都存在且为 相反数，且这时成立 ),(),( 00 1 00 yx e f yx x f ∂ ∂ = ∂ ∂ （或 ),(),( 00 2 00 yx e f yx y f ∂ ∂ = ∂ ∂ ）。 定义 12.1.2 设 D⊂ 2 R 为开集， z f xy xy = ( , ), ( , )∈ D 是定义在 D 上的二元函数， ),( 00 yx ∈D 为一定点，v = α α)sin,(cos 为一 个方向。如果极限 t yxftytxf t ),()sin,cos( lim 0 0 00 0 + + − +→ α α 存在，则称此极限为函数 f 在点 ),( 00 yx 的沿方向v 的方向导数，记为 ),( 00 yx v f ∂ ∂
例121.5求二元函数f(x,y)=1x2-y2p2在原点的方向导数。 解对于任一方向v=(cosa,sina),有 f(0+ cosa,0+tsin a)-f(0,0) I cos v 当cos2a=sin2a时,上式为零,因此f(x,y)沿这样的方向的方向 导数为零。 当cos2a≠sin2a时,当t→0+时上式的极限为|cos2a-sin2a2,它 就是f(x,y)沿方向ν的方向导数。同样可计算出,f(x,y)沿方向-v的 方向导数仍为|cos2a-sin2a2 特别地,f(x,y)沿方向e和-e2(=12)的方向导数均为1,因此 (x,y)在(00)点的偏导数不存在
例 12.1.5 求二元函数 2122 −= yxyxf ||),( 在原点的方向导数。 解 对于任一方向v = α α)sin,(cos ，有 2 212 |sincos| ||)0,0()sin0,cos0( αα α α = − + + − t t t fttf 。 当 αα2 2 = sincos 时，上式为零，因此 yxf ),( 沿这样的方向的方向 导数为零。 当 αα2 2 ≠ sincos 时，当t → 0 +时上式的极限为 2 212 − αα |sincos| ，它 就是 yxf ),( 沿方向v 的方向导数。同样可计算出， yxf ),( 沿方向− v 的 方向导数仍为 2 212 − αα |sincos| 。 特别地， yxf ),( 沿方向 i e 和 i − e i = )2,1( 的方向导数均为 1，因此 yxf ),( 在 )0,0( 点的偏导数不存在
若将R”中的单位向量v(即满足川=1的向量)视为一个方向, 就可类似定义n元函数的方向导数:设DcR为开集,x°=(x,x2,…,x2) 为D中一定点,ν=(v1,n2…,n)为一方向。定义D上的n元函数 l=f(x1,x2…,xn)在点x的沿方向v的方向导数为 f(x1+tv12x2+12,…,xn+tn)-f(x1,x2,…,x X=lim (如果等式右面的极限存在的话)
若将 n R 中的单位向量v （即满足 v = 1的向量）视为一个方向， 就可类似定义n元函数的方向导数：设 n D ⊂ R 为开集， ),,,( 0 0 2 01 0 n = " xxxx 为 D 中一定点， ),,,( 21 n v = " vvv 为一方向。定义 D 上的 n 元函数 ),,,( 21 n = " xxxfu 在点 0 x 的沿方向v 的方向导数为 ),,,( 0 0 2 01 n xxx v f " ∂ ∂ t xxxftvxtvxtvxf nn n t ),,,(),,,( lim 0 0 2 01 0 2 021 01 0 ++ " −+ " = +→ ， （如果等式右面的极限存在的话）
全微分 对于函数z=f(x,y),记它的全增量为 Az=f(ro+Ax, yo+ Ay)-f(ro, yo) 定义12.1.3设DR2为开集, f(x,y),(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(xny3)∈D为一定点。 若存在只与点(xn,y)有关而与Ax,山y无关的常数A和B,使得 △=A△x+BAy+o△x2+4y 这里叭Ax2+小y)表示在A+42→0时比+今高阶的无穷小 量。则称函数∫在点(xn,y)处是可微的,并称其线性主要部分 AAx+BNy为f在点(xn,y)处的全微分,记为dx(x0,y)或df(x0,y)。 若(在Ax2+4y2→>0时)将自变量x,y的微分△,Ay分别记为 dxdy,那么有全微分形式 dz(xo, yo)=Adx+ Bd
全微分 对于函数 = yxfz ),( ，记它的全增量为 Δz = 0 0 00 f ( , ) (, ) x xy y f x y + Δ +Δ − 。 定义 12.1.3 设 D⊂ 2 R 为开集， z f xy xy = ( , ), ( , )∈ D 是定义在 D 上的二元函数， ),( 00 yx ∈D 为一定点。 若存在只与点 ),( 00 yx 有关而与Δ , Δyx 无关的常数 A 和 B，使得 Δz ( ) 22 Δ+Δ+Δ+Δ= yxoyBxA ， 这里 ( ) 22 Δ+Δ yxo 表示在 0 yx 22 →Δ+Δ 时比 22 Δ+Δ yx 高阶的无穷小 量。则称函数 f 在点 ),( 00 yx 处是可微的，并称其线性主要部分 Δ + ΔyBxA 为 f 在点 ),( 00 yx 处的全微分，记为 yxz 00 ),(d 或 yxf 00 ),(d 。 若（在 0 yx 22 →Δ+Δ 时）将自变量 , yx 的微分 Δ , Δyx 分别记为 d,d yx ，那么有全微分形式 yxz 00 ),(d = + dd yBxA