北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第十章 双线性函数与辛空间（10.4）辛空间

§4辛空间 由前一节的讨论,已经得到下面的两点性质: 辛空间(,f中一定能找到一组基E1,E2…,En,E1,E2…E满足 f(E;,E)=1,1≤i≤n, f(E12E,)=0,-n≤i,j≤n,i+j≠0 这样的基称为(,)的辛正交基还可看出辛空间一定是偶数维的 2.任一2n级非退化反对称矩阵K可把一个数域P上2n维空间V化成一个 辛空间,且使K为V的某基,E2…,En,E1,E2,…,En下度量矩阵又此辛空间在 某辛正交基E1,62,…,En 下的度量矩阵为 O E (1) 2n×2n 故K合同于J即任一2n级非退化反对称矩阵皆合同于J 两个辛空间(1,f)及(V2,f2),若有V到V2的作为线性空间的同构织,它满 足 f(u, v)=f,(Ku, Kv) 则称默是(V1,f)到(2,f2)的辛同构 (V1,f)到(2f2)的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把(1,f)的 组辛正交基变成(2f2)的辛正交基 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数 辛空间(,f)到自身的,辛同构称为(,f)上的辛变换取定(,)的一组辛 正交基E1:E2…En,E1E_2,…,En,V上的一个线性变换,在该基下的矩阵为 A B C D 其中A,B,C,D皆为n×n方阵则9是辛变换当且仅当K=J,亦即当且仅当

§4 辛空间 由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质： 1. 辛空间 (V, f ) 中一定能找到一组基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  满足 f ( , ) 1, 1 i n ,  i  −i =   f ( i , j ) = 0 , − n  i , j  n , i + j  0 . 这样的基称为 (V, f ) 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的. 2．任一 2n 级非退化反对称矩阵 K 可把一个数域 P 上 2n 维空间 V 化成一个 辛空间，且使 K 为 V 的某基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  下度量矩阵.又此辛空间在 某辛正交基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  下的度量矩阵为 n n E O O E J 2 2         − = , (1) 故 K 合同于 J .即任一 2n 级非退化反对称矩阵皆合同于 J . 两个辛空间 ( , ) 1 1 V f 及 ( , ) 2 2 V f ，若有 V1 到 V2 的作为线性空间的同构 ℜ，它满 足 ( , ) ( , ) f 1 u v = f 2 Ku Kv , 则称 ℜ 是 ( , ) 1 1 V f 到 ( , ) 2 2 V f 的辛同构. ( , ) 1 1 V f 到 ( , ) 2 2 V f 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 ( , ) 1 1 V f 的一 组辛正交基变成 ( , ) 2 2 V f 的辛正交基. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数. 辛空间 (V, f ) 到自身的，辛同构称为 (V, f ) 上的辛变换.取定 (V, f ) 的一组辛 正交基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  ，V 上的一个线性变换 ℜ，在该基下的矩阵为 K ，         = C D A B K , 其中 A, B,C, D 皆为 nn 方阵.则 ℜ 是辛变换当且仅当 KJK = J ，亦即当且仅当

下列条件成立 A'C=CA BD=DB AD-CB=E 且易证|K|≠0,及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换 设(V,f是辛空间,u,v∈,满足f(,)=0,则称u,v为辛正交的 W是V的子空间,令 ∈|f(x,)=0,v∈Ⅳ W显然是的子空间,称为W的辛正交补空间 定理7(,∫)是辛空间,W是V的子空间,则 dim W=dim v-dim w 定义9(,∫为辛空间,W为V的子空间若WcW,则称W为(,)的 迷向子空间;若W=W,即W是极大的(按包含关系)迷向子空单间,也称它 为拉格朗日子空间;若W∩W+={0),则W称W为(,的辛了空间 例如,设61,2,…,En,E1,2…En是(,的辛正交基,则L(E1E2…54)是 迷向子空间.L(E1,E2,…En)是极大迷向子空间,即拉格朗日子空间 L(G1,E2…Ek,E1,E2,…,Ek)是辛子空间 对辛空间(,f)的子空间U,W通过验证,并利用定理7,可得下列性质: (1)(W4)2=W (3)若U是辛子空间,则V=U⊕U (4)若U是迷向子空间则dmU≤dm (5)若U是拉格朗日子空间,则dimU=dm 定理8设L是辛空间(,的拉格朗日子空间,{1,E2…,En}是L的基,则 它可扩充为(,)的辛正交基

下列条件成立： AC = CA , BD = DB , AD −CB = E 且易证 | K | 0 ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换. 设 (V, f ) 是辛空间， u,v V ,满足 f (u,v) = 0 ，则称 u, v 为辛正交的. W 是 V 的子空间，令 W = u V f u w = wW ⊥ | ( , ) 0 , . (2) ⊥ W 显然是 V 的子空间，称为 W 的辛正交补空间. 定理 7 (V, f ) 是辛空间， W 是 V 的子空间，则 dim W = dimV − dimW ⊥ . 定义 9 (V, f ) 为辛空间， W 为 V 的子空间.若 ⊥ W  W ，则称 W 为 (V, f ) 的 迷向子空间；若 ⊥ W = W ，即 W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它 为拉格朗日子空间；若 = 0 ⊥ W W ，则 W 称 W 为 (V, f ) 的辛了空间. 例如，设 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  是 (V, f ) 的辛正交基，则 ( , , , ) L 1 2 k     是 迷向子空间 . ( , , , ) L 1 2 n     是 极 大 迷 向 子 空 间 ， 即 拉 格 朗 日 子 空 间 ( , , , , , , , ) L 1 2 k −1 −2 −k         是辛子空间. 对辛空间 (V, f ) 的子空间 U,W .通过验证，并利用定理 7，可得下列性质： (1) W = W ⊥ ⊥ ( ) , (2) ⊥ ⊥ U  W W  U , (3) 若 U 是辛子空间，则 ⊥ V = U U (4) 若 U 是迷向子空间,则 U dimV 2 1 dim  (5) 若 U 是拉格朗日子空间，则 U dimV 2 1 dim = 定理 8 设 L 是辛空间 (V, f ) 的拉格朗日子空间，  1 , 2 ,  , n  是 L 的基，则 它可扩充为 (V, f ) 的辛正交基

推论设W是(,∫)的迷向子空间,{1,E2…5}是L的基,则它可扩充成 (,的辛正交基 对于辛子空间U,∫|U也是非退化的同样∫U也非退化由定理7还有 定理9辛空间(V,f)的辛子空间(U,f|U)的一组辛正交基可扩充成(,∫) 的辛正交基 定理10令(V,f)为辛空间,U和W是两个拉格朗日子空间或两个同维数的 辛子空间,则有(V,f)的辛变换把U变成W 辛空间(,f)的两个子空间V及W之间的(线性)同构若满足 f(u,v)=f(Ku,Kv),v∈W,v∈ 则称默为V与W间的等距 wt定理辛空间(V,∫)的两个子空间V,W之间若有等距,则此等距可扩充 成(,)的一个辛变换 下面是辛变换的特征值的一些性质 是辛空间(,f)上的辛变换,则默的行列式为 取定(,)的辛正交基E1,E2…,En,E1,E2,…,En,设咒在基下矩阵为K,这 时有KK=J 定理11设状是2n维辛空间中的辛变换,K是在某辛正交基下的矩阵 则它的特征多项式f(x)=AE-K满足f(4)=x()若设 f(4)=a04"+a12 则 2n-:l =0.1 由定理11可知,辛变换咒的特征多项式f(4)的(复)根λ与是同时出 现的,且具有相同的重数它在P中的特征值也如此又K|等于f(4)的所有(复)

推论 设 W 是 (V, f ) 的迷向子空间，  1 , 2 ,  , k  是 L 的基，则它可扩充成 (V, f ) 的辛正交基. 对于辛子空间 U ， f |U 也是非退化的.同样 ⊥ f |U 也非退化.由定理 7 还有 ⊥ V = U U . 定理 9 辛空间 (V, f ) 的辛子空间 (U, f |U ) 的一组辛正交基可扩充成 (V, f ) 的辛正交基.. 定理 10 令 (V, f ) 为辛空间， U 和 W 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的 辛子空间，则有 (V, f ) 的辛变换把 U 变成 W . 辛空间 (V, f ) 的两个子空间 V 及 W 之间的（线性）同构 ℜ 若满足 f (u,v) = f (Ku,Kv), u W , v V 则称 ℜ 为 V 与 W 间的等距. Witt 定理 辛空间 (V, f ) 的两个子空间 V ,W 之间若有等距，则此等距可扩充 成 (V, f ) 的一个辛变换. 下面是辛变换的特征值的一些性质. ℜ 是辛空间 (V, f ) 上的辛变换，则 ℜ 的行列式为 1. 取定 (V, f ) 的辛正交基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  .设 ℜ 在基下矩阵为 K ，这 时有 KJK = J . 定理 11 设 ℜ 是 2n 维辛空间中的辛变换， K 是 ℜ 在某辛正交基下的矩阵. 则它的特征多项式 f () =| E − K | 满足 ) 1 ( ) ( 2  f   f n = .若设 n n n n f a a a2 1 a2 2 1 1 2 0 ( ) = + + + − + −      , 则 ai = a2n−i , i = 0 , 1,  ,n . 由定理 11 可知，辛变换 ℜ 的特征多项式 f () 的（复）根  与  1 是同时出 现的，且具有相同的重数.它在 P 中的特征值也如此.又 | K | 等于 f () 的所有（复）

根的积,而|K=1.故特征值-1的重数为偶数又不等于±1的复根的重数的和及 空间的维数皆为偶数,因此特征值为+1的重数也为偶数 定理12设入,,是数域P上辛空间(,上辛变换在P中的特征值,且 λλ,≠1.设V,V2分别是V中对应于特征值x及的特征子空间则 v∈V2,v∈2,有f(u)=0,即V与V,是辛正交的特别地,当x≠1时V是 迷向子空间

根的积，而 | K |= 1.故特征值 −1 的重数为偶数.又不等于  1 的复根的重数的和及 空间的维数皆为偶数，因此特征值为 + 1 的重数也为偶数. 定理 12 设 i  j , 是数域 P 上辛空间 (V, f ) 上辛变换 ℜ 在 P 中的特征值，且 i j  1 . 设 i V , j V 分别是 V 中对应于特征值 i 及  j 的特征子空间 . 则 i j u V vV , ，有 f (u,v) = 0 ，即 i V 与 j V 是辛正交的.特别地，当 i  1 时 i V 是 迷向子空间