例121.1设f(xy)=x2+2xy+y,求f(xy),f(x,y),f(0)和 f(0,1) 解把y看成常数,对x求导便得 f(x,y)=4x'+4xy 于是f,(01)=0。 把x看成常数,对y求导便得 f,(x,y)=2x2+4y 于是f,(01)=4
例 12.1.1 设 424 2),( ++= yyxxyxf ，求 yxf ),( x ， yxf ),( y ， )1,0( x f 和 )1,0( y f 。 解 把 y 看成常数，对x求导便得 xyxyxf x 44),( 3 += 。 于是 = 0)1,0(x f 。 把 x看成常数，对 y 求导便得 32 42),( yxyxf y += 。 于是 = 4)1,0( y f
例121.2求函数n=ln(x+y2+3)的偏导数。 解 Ox x+y4+2 2 oy x+y+2 z x+y-+
例 12.1.2 求函数 ln( )32 ++= zyxu 的偏导数。 解 32 1 x zyx u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 zyx y y u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 3 zyx z z u ++ = ∂ ∂
例121.2求函数n=ln(x+y2+3)的偏导数。 解 Ox x+y4+2 2 oy x+y+2 z x+y-+ 例12.1.3设z=x”(x>0,x≠1),证明它满足方程 az 1 az =2z y x nx o 证由于2=yx2,c=xlmx,因此 az 1 az x xNx= 2x y x oy y nx
例 12.1.3 设 xxxz ≠>= )1,0( y ，证明它满足方程 z y z xx z y x 2 ln 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 由于 xx y z yx x z y y ln, 1 = ∂∂ = ∂∂ − ，因此 zxxx x yx y x y z xx z y x y y y 22ln ln 1 ln 1 1 ==⋅+⋅= ∂ ∂ + ∂ ∂ − 。 例 12.1.2 求函数 ln( )32 ++= zyxu 的偏导数。 解 32 1 x zyx u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 zyx y y u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 3 zyx z z u ++ = ∂ ∂
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质,但对多元函 数来讲,类似性质并不成立,即可偏导未必连续。 例12.1.4设 xy (x,y)≠(0,0), x ty 0,(x,y)=(0,0) 计算f(0,0),f,(0,0)。 解由定义得到 Ax.0 0 f2(0,0)=lim f(0+△x,0)-f(00) 0 m =m 0 Ax→)0 Ax→>0 △x x→>0△ 同理∫,(0.0)=0。这说明了f(x,y)在(0,0)点可偏导。 但我们已经知道,f(x,y)在(0,0)点不连续
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函 数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。 例 12.1.4 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = + ).0,0(),(,0 ),0,0(),(, ),( 22 yx yx yx xy yxf 计算 )0,0(),0,0( x y ff 。 解 由定义得到 0 0 lim 0 0 0 lim )0,0()0,0( lim)0,0( 0 22 0 0 = Δ = Δ − +Δ Δ ⋅ = Δ −Δ+ = →Δ →Δ x →Δ x x x x fxf f x x x x 。 同理 = 0)0,0( y f 。这说明了 yxf ),( 在 )0,0( 点可偏导。 但我们已经知道， yxf ),( 在 )0,0( 点不连续
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿x轴方向或y轴方向的变化率。而在 平面R2上,当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。 R2中的单位向量v总可以表示为v=(cosa,sina),这里a为ν与x轴 正向的夹角,因此v代表了一个方向,cosa,sina(=cosB)就是v的方向 余弦(其中B为v与y轴正向的夹角)。设P(x0,y)∈R2,则以P为起 点,方向为v的射线(图121.2)的参数方程为 x=op +ty=(xo +t a, yo +tsin a), t20 v=(cos a, sin a) Po(o, yo) x 图1212
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿 x轴方向或 y 轴方向的变化率。而在 平面 2 R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。 2 R 中的单位向量v 总可以表示为v = α α)sin,(cos ，这里α 为v 与 x轴 正向的夹角，因此v 代表了一个方向， α α = β )cos(sin,cos 就是v 的方向 余弦（其中β 为v 与 y 轴正向的夹角）。设 P yx 000 ),( ∈ 2 R ，则以 P0 为起 点，方向为v 的射线（图 12.1.2）的参数方程为 0 tvOPx =+= )sin,cos( 0 + α 0 + tytx α ， t ≥ 0。 y v = α α)sin,(cos α O x 图 12.1.2 0 0 0 P ( ) x y