说明: (1)如果函数f在点(x0y)处可微,则f在点(x0y)处是连续的, 即可微必连续。 (2)若Δy=0,则得到 f(x0+Ax,y0)-f(x0,y0)=A△x+o(△x), 于是 f(x+△x,y)-f(x0,yo) Im A, x→0 所以(x,y)=A。同理可证(x,y)=B。因此可微必可偏导,同时, 得到全微分公式 =9 ax o, yo)dx+ (xo, yo)d y
说明： （1）如果函数 f 在点 ),( 00 yx 处可微，则 f 在点 ),( 00 yx 处是连续的， 即可微必连续。 （2）若 Δy =0，则得到 + Δ − ),(),( = Δ + (ΔxoxAyxfyxxf ) 0 0 00 ， 于是 A x yxfyxxf x = Δ −Δ+ →Δ ),(),( lim 0 0 00 0 ， 所以 Ayx x f = ∂ ∂ ),( 00 。同理可证 Byx y f = ∂ ∂ ),( 00 。因此可微必可偏导，同时， 得到全微分公式 yyx y f xyx x f yxf 00 00 00 d),(d),(),(d ∂∂ + ∂∂ =
例121.6求函数z=e在点(2,1)处的全微分 解由于 z z xe 则(2,1)=e2,(2,1)=22。所以函数在点(2处的全微分为 dz=e dx+2e dyo
例 12.1.6 求函数 xy z = e 在点 )1,2( 处的全微分。 解 由于 xy xy x y z y x z = e,e ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 则 2 2 = e2)1,2(,e)1,2( ∂∂ = ∂∂ yz xz 。所以函数在点 )1,2( 处的全微分为 de2ded yxz 2 2 +=
定理12.1.1设DcR2为开集,(x0,y)∈D为一定点。如果函数 f(x,y),(x,y)∈D 在(x,y)可微,那么对于任一方向ν=(cosa,sina),f在(x,y)点沿方 向v的方向导数存在,且 (xo, yo)=2(xo, yo)cosa+2(xo, yo)sin a ax 证由定义和全微分公式,得 f(xo+t cos a, yo +tsin a)-f(ro,yo) 010)=lm af (xo, yo)t cos a+i(o, yo )t sin a+o(t) Im t→0 (xo, yo )cosa+2(xo, yo )sina
定理 12.1.1 设 D ⊂ 2 R 为开集， ),( 00 yx ∈ D为一定点 。如果函数 z f xy xy = ( , ), ( , ) ∈ D 在 ),( 00 yx 可微，那么对于任一方向 v = α α)sin,(cos ， f 在 ),( 00 yx 点沿 方 向 v 的方向导数存在，且 00 00 α yx 00 sin),(cos),(),( α y f yx x f yx v f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 证 由定义和全微分公式，得 t yxftytxf yx v f t ),()sin,cos( lim),( 0 0 00 0 00 + + − = ∂ ∂ +→ α α t totyx y f tyx x f t )(sin),(cos),( lim 00 00 0 +α ∂ ∂ +α ∂ ∂ = +→ 00 α yx 00 sin),(cos),( α y f yx x f ∂ ∂ + ∂ ∂ =
如果函数f在开集(或区域)D上的每一点都是可微的,则称f 在D上可微。此时成立 dz x,y)dx+2(x,ydy (3)用同样的思想可以定义一般n元函数n=f(x,x2…,xn)的全 微分,并可得到 af dx1+-dx2+…+d ax 如果v=f(x1x2…,xn)在x=(x1x2…,xn)点可微,那么 cos 0, +cos0 其中v=(cos,cos2…,cosn)为一方向,而e就是p与x轴正向的夹角
如果函数 f 在开集（或区域）D上的每一点都是可微的，则称 f 在 D上可微。此时成立 yyx y f xyx x f z d),(d),(d ∂∂ + ∂∂ = 。 （3）用同样的思想可以定义一般n元函数 ),,,( 21 n = " xxxfu 的全 微分，并可得到 n n x x f x x f x x f u ddd 2 d 2 1 1 ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ = " 。 如果 ),,,( 21 n = " xxxfu 在 x ),,,( 21 n = " xxx 点可微，那么 n n x f x f x f v f cosθ cosθ 2 cosθ 2 1 1 ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ " ， 其中 )cos,,cos,(cos = θ 1 θ 2 " θ n v 为一方向，而θ i就是v 与 i x 轴正向的夹角