定理2 (2)若limf(x)=A,1img(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理证明 说明：定理2(2)可推广到有限个函数相乘的情形 推论(1)1im[Cf(x)]=C1imf(x) (C为常数) (2)1im[f(x)]”=[1imf(x)]” (n为正整数) 例.设n次多项式Pn(x)=ao+a1x++anx”,试证 lim P(x)=P(xo). x今X0 证：lim Pa(x)=a0+a,limx+…+an lim x” x→x0 x→X0 P (xo) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (2)若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 . 说明: 定理2 (2)可推广到有限个函数相乘的情形. 推论 (1) lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) (2) n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x
定理2(3)若1imf(x)=A,Iimg(x)=B,且B0,则有 lim f(x) lim f(x) g(x) limg(x) B 证：因1imf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+c(x),g(x)=B+B(x),其中(x),Bx)为无穷小 设y= f(x)AA+a(x) A (Ba(x)-AB(x)) g(x)BB+B(x) B B(B+B(x)) 无穷小 有界 因此y为无穷小， 8(x) B 由极限与无穷小关系定理，得im (x) A lim f(x) B limg(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小 (详见书P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x U x 定理2 (3)若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+(x) , g(x) = B + (x) , 其中 (x) , (x) 设 B A B x A x − + + = ( ) ( ) ( ( )) 1 B B + x = (B(x) − A(x)) 无穷小 有界 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 因此 为无穷小