第6节 第二章 益数的微习 微分的定义 二、 可微与可导的关系 三、微分的几何意义 四、 微分的运算法则 五、微分在近似计算中的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、可微与可导的关系 三、微分的几何意义 第6节 一、微分的定义 函数的微分 第二章 四、微分的运算法则 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由xo变到x,+△x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量△x时，面积的增量为 △4=(x,+△x)2-x △x =2xoAx+(△ 关于△X的 △x>0时为 A=x 线性主部 高阶无穷小 故 △M≈2x0Ax 称为函数在x,的微分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、微分的定义 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其
定义：如果函数y=f(x)在点xo的增量可表示为 △y=f(x0+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) (A是不依于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微，而A△x称为f(x)在 点x,的微分，记作dy,即 dy=AAx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -0C①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 的微分, 定义: 如果函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 是不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 ，即 dy = Ax = Ax + o(x) 在点 可微
二、可微与可导的关系 定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(xo),即 dy=f'(xo)△x 证：“必要性” 已知y=f(x)在点x可微，则 △y=f(x0+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) lim Ay=lim (d+(A))= △x→0△X △x>0 ΛX 故y=f(x)在点x,可导，且f'(x,)=A BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 = Ax + o(x) 在点 可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 二、可微与可导的关系
定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(xO)△x “充分性”已知y=f(x)在点x可导，则 lim A=f(xo) △x→0△X Ay=f(xo)+a (lima=0） △x x→0 故△y=f'(x)△x+CAx=f'(xo)△x+O(△x) f'(x)≠0时 即dy=f'(xo)△x 此项为y的 线性主部 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = → x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f x x + o x 即 dy = f (x )x 0 在点 可导, 则