北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数的应用 1微分中值定理

第1节 第三章 微分中值定理 一、 费马引理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒中值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第1节 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 微分中值定理 第三章 四、泰勒中值定理 一、费马引理

一、费马引理 之}一- 费马，P.de (或≥) 证：设Vx+△x∈U(xo),f(x0+△x)≤f(xo), 则f'(x,）)=lim f(x0+△x)-f(xo) X △x-→0 △x [f'(xo)≥0(Ax→0) →f'(xo）=0 f(x)≤0（△x→0*） 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 费画 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、费马引理 ( ) , 在U x0 有定义 且 ( ) 0 f (x)  f (x0 ), f  x 存在 (或) ( ) 0 f  x0  证: 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x  xU x f x  x  f x 则 ( ) 0 f  x x f x x f x x        ( ) ( ) lim 0 0 0  ( 0 )   ( ) x 0 f x   ( 0 )   f (x0 ) x  0  0 ( ) 0 f  x0  y  f (x) 费马 证毕 x y O 0x

二、拉格朗日中值定理 定理1（罗尔定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 X (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点5，使f'()=0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'(5)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 上负 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1（罗尔定理） y  f (x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )  , 使 f ( )  0. 证:因f (x)在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x)  M , x[a , b], 因此 (a , b), f ( )  0 . 在( a , b ) 内至少存在一点  x y a b y  f (x) O 二、拉格朗日中值定理

若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等， 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 f(5)=M,则由费马引理得f'(5)=0. y=f(x) 注意： ☑ 1)定理条件不全具备时，结论不一定 ag 成立.例如 )= X, 0≤x<1 f(x)=x f(x)=x 0, x=1 x∈[-1,1] x∈[0,1] y 在[0,1]不连续 在(0,1)不可导 f(0)≠f(1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M  f (a) , 则至少存在一点  (a,b), 使 f ( )  M , f ( )  0. 注意: 1) 定理条件不全具备时, 结论不一定 成立.        0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 则由费马引理得 [ 1,1] ( )    x f x x [0,1] ( )   x f x x 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y O  x y a b y  f (x) O 在[0,1]不连续 在(0,1)不可导 f (0)  f (1) 例如

2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x->a x->b 在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0 f(a), x=a 证明提示：设F(x)=了f(x), a<x<b f6)x=b 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 y  f (x)在 ( a , b ) 内可导, 且    lim f (x) x a lim f (x) x b   在( a , b ) 内至少存在一点 , f ( )  0. 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . F(x)  f a x  a  ( ), f (x), a  x  b f b x  b  ( )