第2为 第三章 洛必达法则 型和”型未定式 00 二、其他类型的未定式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、其他类型的未定式 一、 型和 型未定式 0 0 第2节 洛必达法则 第三章
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限im 得型 00 转化 洛必达法则 导数之商的极限1im ∫'(x) g'(x) 将色达.6，手，4de BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 洛必达目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达
一、 0-0 型和 型未定式 定理1. 1)lim f(x)=lim g(x)=0 x→a x→a 2)f(x)与g(x)在U(a)内可导，且g(x)≠0 3) lim '(x) 存在（或为0） x->a g'(x) lim /(x) /(x) (或为无穷大) →a 8(x) xa g'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 '( ) ( ) 3) lim g x f x x a → 存在 (或为 ) '( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x a x a = → → 2) f (x)与g(x) 在U(a)内可导, 定理 1. 型和 0 0 (或为无穷大) . 型未定式
定理条件：1)1imf(x)=limg(x)=0 X→a X→a 2)f(x)与g(x)在U(a内可导，且g'(x)≠0 3)lim f'(x) 存在（或为0） x→d 8(x) 证：无妨假设f(a)=g(a=0, 在指出的邻域内任取 x≠a,则f(x),g(x)在以a,x为端点的区间上满足柯 西中值定理条件，故 f(x)_f(x)-f(af'(5) (5在a,x之间) 8(x) g(x)-g(a) g(5) lim (x) lim f'(5)3) f'(x) x→d 8(x) x->a 8'(5) 8'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 a, x 之间) 证: 无妨假设 f (a) = g(a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以a, x 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a f x f a g x f x − − = '( ) ( ) g f = '( ) ( ) lim g f x a = → 3) 定理条件: 西中值定理条件, '( ) ( ) 3) lim g x f x x a → 存在 (或为 ) 2) f (x)与g(x) 在U(a)内可导,
f'(x) 洛必达法则 lim f(x) x→ 8(x) x→a g'(x 推论1.定理1中x>a换为下列过程之一 x→a，X>a，x>0,x>+0,x→-0 条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若lim f'(x) 仍属9 x→ag(x) 型，且f"(x),g(x)满足定 理1条件，则 lim =m-=m ∫"(x) x→a 8(x) xa g'(x) x→a g"(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 定理1目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论1. 定理 1 中 x →a 换为下列过程之一: , → − x a 推论2. 若 '( ) ( ) lim g x f x x a → 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1