第二章 第4节 高阶导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第4节 高阶导数 第二章
引例：变速直线运动s=s(t) 速度 ds 1y= 即v=s dt 加速度 a= 即 a=(s)' BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动
定义.若函数y=f(x)的导数y=f"(x)可导，则称 f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作y”或 y”=(y或 dx 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推 n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 或 dx3 d x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y = f (x) 可导, 或 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称
例2.4.2设y=ea,求y) 解：y'=aea，y”=ae,y"=a3ea y(n)a"eax y'=- 1-x 特别有：(e)m=ex 例2.4.4设y=1n(1+x),求ym y”= 1-x)2 (1+x)2,”=(-12 1.2 1+x)3 yw=() 1+x)m 规定0！=1 思考：y=ln(1-x),yw=- (n-1)月 (1-x)” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 n (1+ x) e , , y = a 3 ax 例2. 4.2 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: e , ax y = . (n) y e , ax y = a e , 2 ax y = a n n ax y a e ( ) = x n x (e ) e ( ) = 例2.4.4 设 求 , 1 1 x y + = , (1 ) 1 2 x y + = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y + = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y − = − 1 1 y = − 2 (1 ) 1 − x
例2.4.3设y=sinx,求ym 解：y'=cosx=sin(x+乃) y"=cos(x+)=sin(x+) =sin(x+2·) y”=cos(x+2·)=sin(x+3·) 般地，(sinx)m)=sin(x+n:) 类似可证 (cosx)m）=cos(x+n5) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2.4.3 设 求 解: y = cos x sin( ) 2 π = x + cos( ) 2 π y = x + sin( ) 2 π 2 π = x + + sin( 2 ) 2 π = x + cos( 2 ) 2 π y = x + sin( 3 ) 2 π = x + 一般地 , x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2 π n ) 2 π n