4目录 §4.3最小多项式…… ……(250) 第五章矩阵函数 §5.1入-矩阵的极限，微分与积分…（253) §5.2矩阵的幂级数………(255) §5.3矩阵函数………(259) §5.4矩阵函数的应用………… (267) 第六章广义逆 §6.1预备知识… ……（276) §6.2广义逆矩阵A+ ………………………(277) S6.3A中的计算方法……(280) S6.4广义逆的应用……………（283) 习题… (287) 习题Ⅱ答案…(299) 参考书目Ⅱ……(309)
4 第五章 § 5. 1 § 5. 2 § 5.3 § 5.4 第六章 § 6. 1 § 6.2 § 6.3 § 6.4 最小多项式 ………...………...…….•. ..……. ... ... ... ... ... ... ... ... 矩阵函数 A- 微分 … … 矩阵的事级数· 矩阵函数…….. 矩阵函数的应用… 广义逆 (250) (253) (255) (259) (26 7) (276) (217) (280) (283) (287) (299) (309)
第I部分 数值分析 数值分析是工程类型硕士生的一门应用性很强的重要基础课程.通过本课程的 学习，学生要掌握数值分析的基本概念和基本理论，并测重于数值计算方法的应用。 通过本课程的学习，学生应初步具有数值分析的思想和方法，并学会用计算机解决科 研和工程应用中的数值计算问题的能力. 数值分析是近代数学的一个重要分支，它是计算机科学的重要内容，当前，由于 科学技术的迅速发展和计算机的广泛应用，使继实验方法、理论方法之后，科学计算 已成为科学研究的第三种方法，学习和掌握计算机上常用的数值计算方法及有关的 基础理论，已成为现代科学教育的重要内容，这方面的知识对于当代的工程硕士生来 说，是非常需要的. 本书是为工程类硕士生学习“工程数学”课程而编写的基础教材，本部分共分八 章，内容主要包括：线性代数方程组的数值解法，矩阵的特征值和特征向量的计算，非 线性方程的数值解法，插值与逼近，数值积分与常微分方程初值问题的数值解法等计 算机上常用的数值计算方法及有关的理论分析
I部分数值分析 , 数值分析是工程类型硕士生的一门应用性很强的重要基础课程.通过本课程的 学习，学生要掌握数值分析的基本概念和基本理论，并测重于数值计算方法的应用. 通过本课程的学习，学生应初步具有数值分析的思想和方法，并学会用计算机解决科 研和工程应用中的数值计算问题的能力. 数值分析是近代数学的一个重要分支，它是计算机科学的重要内容，当前，由于 科学技术的迅速发展和计算机的广泛应用，使继实验方法、理论方法之后，科学计算 已成为科学研究的第三种方法，学习和掌握计算机上常用的数值计算方法及有关的 基础理论，已成为现代科学教育的重要内容，这方面的知识对于当代的工程硕士生来 说，是非常需要的. 本书是为工程类硕士生学习"工程数学"课程而编写的基础教材，本部分共分八 章，内容主要包括:线性代数方程组的数值解法，矩阵的特征值和特征向量的计算，非 线性方程的数值解法，插值与逼近，数值积分与常微分方程初值问题的数值解法等计 算机上常用的数值计算方法及有关的理论分析
第一章绪论3 第一章绪论 §1.1计算方法的意义 随着现代科学技术的迅速发展，从实际问题中建立起来的数学模型越来越复杂， 由于这些数学模型往往不能容易地求出精确解，于是人们就局限于讨论问题的特殊 情形或简化了的模型，但这样做往往不能满足精度要求.因此，常用的处理方法就是 对较少简化的数学模型运用数值计算方法在计算机上进行数值计算，计算时间的多 少依赖于数值计算的计算量以及所用计算机的运行速度，而计算量的大小又依赖于 所用的数值计算方法与需要达到的精度.因此，要更好更快地解决实际问题中的数学 模型，必须提高人类的计算能力：即计算工具的性能与计算方法效率的总和，计算能 力的提高有赖于双方，我们不但要改进计算机的硬件设备、提高计算机的运行速度， 而且还必须提出具有高精度、低计算量的数值方法.对同一问题来讲，采用不同的数 值计算方法，其计算工作量有时相差非常之大，譬如：对一个n阶的线代数方程组，当 n=20时，若用Gramer法则求解，其乘除法运算次数约需9.7×10”，即使用每秒运 算1亿次的计算机，也要算30多万年，而用Gauss消去法，大约只需2660次乘除法 运算，并且，愈大，两种方法的计算时间相差就愈大，这个例子表明算法的好坏对计 算能力的提高起着重要的作用.在1955年至1975年的20年间，计算机的计算速度 提高了数千倍，而同一时间解决一定规模的椭圆型偏微分方程的数值计算方法的效 率提高了约100万倍，所以，研究和选择好的计算方法是非常重要的. 由于我们讨论的数值计算方法是以计算机作为计算工具的，因此还必须考虑到 有限字长给运算所带来的误差，若用计算机来解决一个实际问题，计算机算出的值与 实际问题的值，往往存在着差异，两者之差称为误差，而引起误差的原因是多方面的， 为了解决一个实际问题，首先必须对这个问题建立合理的数学模型，由于建模时要忽 略某些次要因素，对原始问题进行近似，这个过程中产生的误差称之为模型误差，而 数学模型中包含的若干参量往往是通过观测得到的，这种观测也难免产生误差，称它 为观测误差，然后还要把数学模型运用数值计算方法转换成数值问题，这个过程引起 的误差称为截断误差或方法误差，最后，用计算机对数值问题进行求解时，由于计算 机的有限字长还会产生舍入误差，在上面的所有这些误差中，模型误差和观测误差是 不属于本课程的讨论范围，本课程主要研究从数学模型到数值问题之间的误差，即方 法误差.舍入误差也是我们要研究的，另外，数值计算方法的稳定与否还会影响到舍
绪论 第→章绪论 § 1. 随着现代科学技术的迅速发展，从实际问题中建立起来的数学模型越来越复杂， 由于这些数学模型往往不能容易地求出精确解，于是人们就局限于讨论问题的特殊 情形或简化了的模型，但这样做往往不能满足精度要求.因此，常用的处理方法就是 对较少简化的数学模型运用数值计算方法在计算机上进行数值计算，计算时间的多 少依赖于数值计算的计算量以及所用计算机的运行速度，而计算量的大小又依赖于 所用的数值计算方法与需要达到的精度.因此，要更好更快地解决实际问题中的数学 模型，必须提高人类的计算能力:即计算工具的性能与计算方法效率的总和，计算能 力的提高有赖于双方，我们不但要改进计算机的硬件设备、提高计算机的运行速度， 而且还必须提出具有高精度、低计算量的数值方法.对同一问题来讲，采用不同的数 值计算方法，其计算工作量有时相差非常之大，譬如:对一个 n阶的线代数方程组，当 n=20 求解 乘 除法 7 X 10 1亿次的计算机，也要算 0多万年，而用 s消去法，大约只需 0次乘除法 运算，并且 n愈大，两种方法的计算时间相差就愈大，这个例子表明算法的好坏对计 算能力的提高起着重要的作用.在 5年至 9 7 5年的 0年间，计算机的计算速度 提高了数千倍，而同一时间解决一定规模的椭圆型偏微分方程的数值计算方法的效 率提高了约 0万倍，所以，研究和选择好的计算方法是非常重要的. 由于我们讨论的数值计算方法是以计算机作为计算工具的，因此还必须考虑到 有限宇长给运算所带来的误差，若用计算机来解决一个实际问题，计算机算出的值与 实际问题的值，往往存在着差异，两者之差称为误差，而引起误差的原因是多方面的 为了解决-个实际问题，首先必须对这个问题建立合理的数学模型，由于建模时要忽 略某些次要因素，对原始问题进行近似，这个过程中产生的误差称之为模型误差，而 数学模型中包含的若干参量往往是通过观测得到的，这种观测也难免产生误差，称它 为观测误差，然后还要把数学模型运用数值计算方法转换成数值问题，这个过程引起 的误差称为截断误差或方法误差，最后，用计算机对数值问题进行求解时，由于计算 机的有限字长还会产生舍入误差，在上面的所有这些误差中，模型误差和观测误差是 不属于本课程的讨论范围，本课程主要研究从数学模型到数值问题之间的误差，即方 法误差.舍人误差也是我们要研究的.另外，数值计算方法的稳定与否还会影响到舍
4第I部分数值分析 入误差的增长.我们可以来看这样的一个例子：对n=0,1,·,8,计算积分 s-， I" 由于 8+58-小2告装d-2a-月 dnn(1.2) 若取S。=n(1.2)≈0.182，用公式 5=月-55.1(n=1,2,…,8) 进行计算（精确到小数点后3位），我们得到 51≈0.090,52≈0.050， 5,≈0.083,54≈-0.165， 53≈1.025， 56≈-4.958,5，≈24.933,5≈-124.540， 若记en=Sn一5，则 6n=-5en-1, 显然，如果从S一1计算S,误差将以每步5倍的速度增长，这种计算是不稳定的，反 之，如果从5n计算5-1，即 、(n=8,7,…,1) 则误差的增长速度为每步。倍，即误差逐步减少，计算稳定，所以我们可以这样确定 3,设5≈5，从 5,=9s, 可得S。≈5，≈0.019，再由逐次计算求得（精确到小数点后3位） 5,≈0.021，S6≈0.024,5≈0.028， 54≈0.034， 53≈0.043， S2≈0.058， 51≈0.088， 5。≈0.182， 它与实际相似
部分 人误差的增长.我们可以来看这样的一个例子:对 ，…， 8，计算积分 Sfj;4dz, 由于 5. +55._1= zrldz=i J J 0 x+5 ~~ J 0 o=|-l-dZEln6+ln5=ln(1.2> J 0 若取 2)~O. 182 Sn= (n= 1, 2 , " ' ,8) 进行计算〈精确到小数点后 ，我们得到 51 55~1. 若记 52~O.050 56 53~O.083 57 54 58 2 4 4 0 -5E:. _ 1 , 显然，如果从瓦 计算 差将 不 稳 定 之，如果从豆"计算 ，即 511- rl= 1) 5n 5 则误差的增长速度为每步÷倍，即误差逐步减少，计算稳定，所以我们可以这样确定 瓦，设瓦 "" 1 1 - - ""- '-'8 X 9 5 '-'9 可得 50 次计 点后 $7 0 2 53~O.043 它与实际相似. 56 0 2 4 52~O.058 55 2 8 51 ~O. 088 , 54~O.034. 5o~O. 182
第一章绪论5 因此，在讨论数值计算方法时还必须考虑算法的稳定性，数值不稳定的算法是不 能使用的. $1.2误差及有关概念 人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度，这些概 念在高等数学、物理以及力学等课程中早已接触过.由于它们在科学计算中的重要 性，下面我们再对有关的概念作一回顾. 一、误差的来源 一个物理量的真实值和我们算出的值往往存在差异.它们之差称为误差，引起误 差的原因是多方面的，从实际问题提出数学问题（即数学模型）时往往忽略了许多次 要因素，因而即使数学问题能准确求解，也与实际问题的真解有所不同.它们之差称 为模型误差，一般数学问题包含若干参量，它们的值往往通过观测得到，而观测难免 不带误差.这种误差称为观测误差或数据误差、模型参量误差.一般数学问题难以求 解，往往要通过近似替代，简化为较易求解的问题.简化引起的误差称为方法误差或 截断误差，计算时只能对有限位数进行运算，从而往往会对数据进行舍人，此时产生 的误差为舍入误差或计算误差.计算数学主要研究数值问题的数值解法，所以不讨论 模型误差。 二、绝对误差与相对误差 确切地说，若x是真正值，x是近似值，则称 △x=E(x)=x一x 为近似值x的绝对误差或简称误差.一般来说，△x的准确值很难求出，只能知道 |△x不超过某个数e,即 |△x|=|x-x|≤E 数ε称为x的绝对误差限，或简称误差限.有了误差限ε，就可知道真正值x的范围 x-e≤x≤x十e. 这范围有时也表示为
第一章绪论 因此，在讨论数值计算方法时还必须考虑算法的稳定性，数值不稳定的算法是不 能使用的. §1. 人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度，这些概 念在高等数学、物理以及力学等课程中早已接触过.由于它们在科学计算中的重要 性，下面我们再对有关的概念作一回顾. 一、误差的来源 一个物理量的真实值和我们算出的值往往存在差异.它们之差称为误差，引起误 差的原因是多方面的，从实际问题提出数学问题〈即数学模型〉时往往忽略了许多次 要因素，因而即使数学问题能准确求解，也与实际问题的真解有所不同.它们之差称 为模型误差.一般数学问题包含若干参量，它们的值往往通过观测得到，而观测难免 不带误差.这种误差称为观测误差或数据误差、模型参量误差.一般数学问题难以求 解，往往要通过近似替代，简化为较易求解的问题.简化引起的误差称为方法误差或 截断误差.计算时只能对有限位数进行运算，从而往往会对数据进行舍人，此时产生 的误差为舍入误差或计算误差.计算数学主要研究数值问题的数值解法，所以不讨论 模型误差. 二、绝对误差与相对误差 确切地说，若 Z是真正值，王是近似值，则称 I'::1x = E(x )=x-x 为近似值玉的绝对误差或简称误差.-般来说l'::1x的准确值很难求出，只能知道 t-xl e: lt-xl=lx一日~e: E称为王的绝对误差限，或简称误差限.有了误差限e:，就可知道真正值Z的范围 二← e: 这范围有时也表示为