第三章矩阵的运算 由于 a4h+aa4:+l+an4n-4i=j ￥0i1i 可得： 品，+4，+1+a4,=风ij ￥0i1i A0L0ù AA=AA= 01A利L0 =AE EL LLLú ě0 |Aǜ 只要10，就有4)=（行4们A=B
第三章 矩阵的运算 可得： 由于
第三章矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） I= n阶方阵A可逆0|A10,而且A A* 证明 "U"(充分) 已证. "b"(必要) 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=|A‖A1=|E=1 所以 |A10
第三章 矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） 证明 两边取行列式，得 所以
第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵」 证明： 设AB=E 则|AB|A‖BE=1 所以|A0,由定理可知，A可逆 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(4A)B=A(AB)=4E=A 同理可证，若BA=E,则B=A1
第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 所以 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 同理可证，若BA=E，则
第三章矩阵的运算 é12-1ù 例1判断A= 1 0是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 仓1 0-2 解： 由于A=910,故A可逆，又 A1=-2,A2=4,A31=4, A12=-2,A2=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, 4 1ù 于是 9 9 9 e-2 41ùd e 1 1 i A1= A= 6 A -3 -3 3 1 -2 -5 1 2 0 91
第三章 矩阵的运算 解： 故 A 可逆，又 A11 =-2， A21=4， A31=4， A12 =-2， A22 =-3， A32 =-3 A13=1， A23 =-2 ， A33 =-5 ， 于是
第三章矩阵的运算 逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A1,A亦可逆，且 ()1=A,(A91=()g (2)若A可逆，数110，则1A可逆，且 00'= (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)=B4
第三章 矩阵的运算 逆矩阵的性质