第五章 向量与空间解析几何 一、知识结构 向量定义 线性运算 向量 数量积 量积 尽在小程 义 点法式方程 平面 三点式方程 裁距式方程 一般式方程 向量与空间解析儿何 平面、曲面 柱面 曲面 旋转曲面 二次曲面 定义 点向式方程 直线 参数式方程 直线、曲线 般式方程 曲线 般式方程 参数式方程 二、归纳总结 1.向量的运算 向量的运算，重点是用向量的坐标进行运算。要做到运算正确、熟练，首先应熟记一 些常用的公式 1
高等数学习题全解与学习指导（下册】 a=(a.a,.a,).b (b.b,.b). 向量的模：a=√+a+位 方向余弦：c0a= a d ，c03=- cosy = +a+ @+a+a 层++a 线性运算：a±b=(a,6,8，±6，a:±6，Aa=(AaA,Aa 数量积：a·b=a,b,+a,b,+a,b |1了k| 向量积：a×b=a,a,a 两向量的线角：一品e= a11b 向量的投能：防b:合网a-守 向量平行的充要条作：60。》受受Aa为实数 向量垂直的充要条件：a·b=0中a⊥b白a,6+a,6,+a,b,=0. 以a、b为邻边的平行四边形的面积：S=a×b 2.平面和直线 根据几何条件，求出平面或直线的方程是这部分的主要内容 平面方程有三种基本形式： ()点法式方程：A(x-0)十8y-)+C(:-)=0 (2)一般方程：x+By+C:+D=0. 直线方程也有三种基本形式： ()点向式。二加.-为 m 下=0+m1, (2)参数式：y=0+, =+pl. (3)一式：+By+G+n=0 A1x+By+C1:+D1=0, 3.曲面与曲线 旋转曲面：)0仍面上曲线L:y,:)=0绕：轴旋转所形成的旋转曲面方程为（± √P+了，)=0.绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为爪y,±√P+了)=0. 柱面：准线是xO,面上的曲线C,母线平行于：轴的柱面方程为F(x,y)=0. 二次曲面： 。2
第五章向量与空问解析几何 (2)锥面：2=a2x2+62y2(a,b>0),特别地.：=P+ (3)抛物面：2=a2x2+62y2(a,6>0),特别地.2=x2+y2 曲线方程： (1)一般式： F(x,y,)=0 lG(x,y,)=0. r=p(), (2)参数式：y=(), =() 三、例题解析 例1（考研直题：2006年数学一）点(2,1.0)到平面3x+4y+5:=0的距离d 解本题直接利用点到平面距离公式 d=。+B。+G+D √+B+G 进行计算即可。其中(，0,0)为点的坐标，A:+局+G+D=0为平面方程 d=3×2+4×1+5×0-5 √3+4+5 例2已知向量a=3-j+5k.b=2i+3对7k,试求一向量x,使它与：轴垂直且满足 xa=5,xb=-4. 3x-y+5a=5. 解设向量x=(x,y,).由2x+3y-7z=-4,得x=(1,-2,0) e=0, 例3已知a,b是两个模都为2的向量，且它们的夹角为织，若c1=a×b, 2=(1×a)xb,c=(c×a)×b,求lcl 解由向量积定义可知c,=ab1号=25，由6上a, ▣▣ 1b,G×a与a,b共面，且G×a1b,故(G×a6)=红-三 3 石，lc,×al=clam号=45：同理. lsl=lc×allb1img=25.(xa,b)=g,le×al=lealin号=25g l6=6×ab1m石=25：依次类推， lcl=lc-×alb1m石=2"5 3
高等数学习题全解与学习指导（下册】 例4求通过三平面2x+y-:=2,x-3y+:+1=0和x+y+:-3=0的交点，且平 行于平面x+y+2二=0的平面方程 解所求平面平行于x+y+2:=0,所以该平面的法向量为(1,1,2) 2+y-2=0. 三平面的交点为红-3y+:+1=0,解得x=1,y=1,:=1. +y+:-3=0. 所以所求平面为(x-1)+(y-1)+2(:-1)=0,即 x+y+2z-4=0 5求，在平商，：0上的软售线 例题解析 方程 解过已知直线作垂直于平面x+y+:=0的平面，称为投影平 面，投影平面与已知平面的交线即为投影直线 由有玫有程氨，过直仁，的平有方程可2为 ▣ (x+y-:-1)+A(y-x-1)=0, 即(1-A)x+(1+A)y-(1+A):-(1+A)=0. 例题解析 上述平面与平面x+y+:=0垂直，所以2 (1-A)·1+(1+A)1-(1+A)·1=0, 得到A=1.于是投影平面为 2y-2:-2=0, 所求投影直线方程为 1=0 x+y+:=0. 例6求线，只-在平面：-+2么-10上的影直线6的方 程，并求。绕y轴旋转一周所成的曲面方程。 解的方程可写：：0所以注1的方程可写 y+:-1=0. (x-y-1)+A(y+:-1)=0 即 x+(A-1)y+A:-(1+A)=0. 因它与已知平面垂直，即1-(A-1)+2以=0，解得 ▣的 入=-2. 创随解析 所以过1与已知平面垂直的平面方程为x-3y-2+1=0,故6的方程为 x-y+2:-1=0, x-3y-2z+1=0. =2y, 4
第五章向量与空问解桥几何 于是。绕y轴旋转一周所成的曲面方程为 2+2=4时+gg-1) 4x2-17y2+42+2y-1=0. 四、习题详解 习题5-1向量及其运算 1.填空题 (1)已知点A(2,-1,1),则点A与：轴的距离是 与y轴的距离是 与x轴的销距离是 (2)向量a=(-2.6.-3)的模为a= ,方向余弦为cosa= _cosy ,其同方向的单位向量e。= (3)设a、B、y是向量a的三个方向角，则sin2a+in2B+in2y= (4)设向量a=(2,-1,4)与向量b=(1,k,2)平行，则k= (5)已知三点M(L.-2,3),M2(1,1,4),M(2,0,2),则M,m·M,= 、MxM= (6)设点A(2,-1,-2),B(0,2.1),C(2,3,0),以AB,AC为邻边，作平行四 边形，此平行四边形的面积等于 (7)向量a=(4,-3,1)在b=(2,1,2)上的投影Pm6a= b在a上的投影 (8)设a=(1.2.3).b=(-2.k,4).而a⊥b.则k= 解(1)A与：轴的鹿离d,=√P+了=√2+（-1)下=5： 与y轴的距离山，#√+正=√2+下=5： 与x轴的距离4，=√+子=-1)+下=2. (2)1a=√++7=√-2+6+(-3下=√4g=7: cosy (3)sin2a +sin'B sin'y (1-cos'a)+(1 cos'B)+(1-cos'y) =3-(cos2a cos'B cos2y)=3-I =2. (4)因为两向量平行，故对应坐标成比例.即 从面长=一号 5