性质3(保序性)设f(x)和g(x)都在[a,上可积,且在a,上恒有 f(x)≥g(x),则成立 f(rdx2 g(x)dx 证我们只要证明对[ab上的非负函数f(x),成立 f(x)dx≥0 由于在[ab]上f(x)≥0,因此对[a,b的任意一个划分 x1<x2<…<xn=b 和任意点∈[x1,x,有 ∑f(5)x20 令=max(△x)→>0,即得到 l≤i<n (x)dx=im∑/(5)△x20
性质 3（保序性）设 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积，且在[,] a b 上恒有 f x gx () () ≥ ，则成立 ( )d ( )d b b a a f x x ≥ g x x ∫ ∫ 。 证 我们只要证明对[,] a b 上的非负函数 f x( )，成立 ( )d 0 b a fx x ≥ ∫ 。 由于在[,] a b 上 f x( ) ≥ 0，因此对[,] a b 的任意一个划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = 和任意点 1 [ ,] i ii ξ x x ∈ − ，有 1 () 0 n i i i f x ξ = ∑ Δ ≥ 。 令 1max( ) 0 i i n λ x ≤ ≤ = Δ → ，即得到 0 1 ( )d lim ( ) 0 n b i i a i fx x f x λ ξ → = = ∑ Δ ≥ ∫
性质4(绝对可积性)设f(x)在[a,b上可积,则|f(x)在[a,b上 也可积,且成立 f(x)dx≤|f(x)ldx 证由于对于任意两点和x,都有 f(x一|f(X)|≤|f(x)-f(x) 仿照性质2的证明即可证得f(x)在ab上可积。 又因为对任意x∈[ab],成立 f(x)|≤f(x)≤|f(x) 由性质3得到 If(x)I dxs f(x)dxs If(x)Idx 这就是 f(x)dxs I f(x)I dx
性质 4（绝对可积性）设 f x( )在[,] a b 上可积，则 | ( )| f x 在[,] a b 上 也可积，且成立 ( )d | ( ) | d b b a a f x x ≤ f x x ∫ ∫ 。 证 由于对于任意两点x 和~x ，都有 || ( )| | (~)| | | ( ) (~ fx fx fx fx − ≤ − ) | ， 仿照性质 2 的证明即可证得 | ( )| f x 在[,] a b 上可积。 又因为对任意 ∈ bax ],[ ，成立 − | ( )| ( ) | ( )| fx fx fx ≤ ≤ ， 由性质 3 得到 | ( ) | d ( )d | ( ) | d b bb a aa − ≤≤ f x x f x x f x x ∫ ∫∫ ， 这就是 ( )d | ( ) | d b b a a f x x ≤ f x x ∫ ∫ 。
要注意的是,性质4的逆命题不成立,也就是说,由f(x)在[a,b 上的可积性并不能得出f(x)在[a,b上的可积性。 反例: f(以)=1,x为有理数 ∈[0,1] 1,x为无理数
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由| ( )| f x 在[,] a b 上的可积性并不能得出 f x( ) 在[,] a b 上的可积性。 反例： ⎩ ⎨ ⎧ − = ,1 , ,1 , )( 为无理数 为有理数 x x xf x ∈[ ,] 0 1