例1求过点(1,2,1)且与向量n=(1,2,1) 垂直的平面 解由点法式方程,有 lx-1)+2(y-1)+1(z-2)=0 即x+2y+z-5=0
例1 求过点 (1 , 2 , 1) 且与向量 n = (1 , 2 , 1) 垂直的平面． 解 由点法式方程，有 即 1(x −1)+ 2(y −1)+1(z − 2) = 0 x + 2y + z − 5 = 0
例2求通过x轴与点(4,-3,-1)的平面方程 解所求平面通过x轴,法向量n=(0,B,C) 平面的方程为B+Cz=0 因为点(4,-3,-1)在平面上,因此有 3B-C=0或C=3B(B≠0) 所求的平面方程为 y-3z=0
例2 求通过x轴与点(4 , -3 , -1)的平面方程． 解 所求平面通过 x 轴，法向量n=(0 ,B , C) 平面的方程为 因为点(4 , -3 , -1)在平面上，因此有 所求的平面方程为 By + Cz = 0 −3B−C = 0或C = 3B (B 0) y − 3z = 0
例3平面过三点M1(1,1,1)、M2(-2,1,2) M3(3,3,1),求这平面的方程 解一设平面方程为 Ax+ By+ Cz+D=0 那么M1、M2、M3三点的坐标满足方程,有 A+btc+D=0 2A+B+2C+D=0 3A+3B+C+D=0
例3 平面过三点M1 (1 , 1 , 1)、M2 (-2 , 1 , 2)、 M3 (-3 , 3 , 1) ，求这平面的方程． 解一 设平面方程为 那么M1、 M2、 M3三点的坐标满足方程，有 Ax + By +Cz + D = 0 − + + + = − + + + = + + + = 3 3 0 2 2 0 0 A B C D A B C D A B C D
解得 B=2A C=3A D=-6A 由于A、B、C不能同时为零,因此A0 于是平面方程为 Ax+2Ay+3Az-6A=0 即 x+2y+3z-6=0
解得 由于A、B、C不能同时为零，因此A≠0 . 于是平面方程为 即 B = 2A C = 3A D = −6A Ax + 2Ay + 3Az − 6A = 0 x + 2y + 3z − 6 = 0
解二设M(x,y,x为空间的任意一点, 那么M,MM,M、M,M,共面,即 x2 3-13-11 化简得所求的平面方程为 x+2y+3z-6=0
解二 设M(x , y , z)为空间的任意一点， 那么 共面，即 化简得所求的平面方程为 M1 1 2 1 3 M M M M M 、 、 0 3 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 = − − − − − − − − x − y − z − x + 2y + 3z − 6 = 0