第一节线性方程组及高斯消元法 引例 某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案, 给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图 300 100 300 400 300 600 A B 500 100 图21
一、引例 某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案， 给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图． 300 300 300 100 500 100 600 400 A B D C x1 x2 x3 x4 图2.1 第一节 线性方程组及高斯消元法
其中每一路段的车流量数(单位:辆/小时)及其方向 分别用一个数及箭头表忒1,x2,x32x4表示所考虑的 四个路段的待定车流量数A、B、C、D表示四个十字路口. 为了使四个路口不发生车辆拥堵现象,必须保持每个路 口进出的车辆数平衡.于是我们可以得到线性方程组 +x4=300+500=800 X,+x =100+600=700 x+ 100+400=500 x3+x4=300+300=600 这就是上述交通流量问题的数学表达式 除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描 述其数量关系,如电流回路分析以及投入产出经济模型等
其中每一路段的车流量数（单位：辆/小时）及其方向 分别用一个数及箭头表示, 1 2 3 4 x , x , x , x 四个路段的待定车流量数 ， 表示所考虑的 A,B,C,D 表示四个十字路口． 为了使四个路口不发生车辆拥堵现象，必须保持每个路 口进出的车辆数平衡．于是我们可以得到线性方程组 + = + = + = + = + = + = + = + = 300 300 600 100 400 500 100 600 700 300 500 800 3 4 2 3 1 2 1 4 x x x x x x x x 这就是上述交通流量问题的数学表达式． 除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描 述其数量关系，如电流回路分析以及投入产出经济模型等．
线性方程组 根据第一章的讨论,线性方程组 art a12x,+.+a,x=6 a,x;+a、x,+…+a,x.=b a,x.+aX+…+ax=b 可以写成 Ax=b (22) 其中系数矩阵 A 常数列 未知量列 增广矩阵 B=(4:b)
二、线性方程组 根据第一章的讨论，线性方程组 (2.1) 可以写成 其中系数矩阵 常数列 未知量列 增广矩阵 Ax = b ( ) m n ij A a = ( , , , ) , 1 2 = m b b b b ( ) = n x , x , , x x 1 2 B = (Ab) (2.2)
如果b,b2…bn中至少有一个不为零,那么(21称为非齐次 线性闢么(21称为齐次线性方程组 满足方程组(21)的n元有序数组 称为方程组(21)的一个解 方程组(2.1)的所有解组成的集合称为方程组(21)的解集 方程组(2.1)的解集可能是空集,此时方程组(2.1)无解 如果方程组有解,那么称它是相容的;如果方程组无解,那么 称它不相容.如果两个方程组有相同的解集,那么称它们是等 价的方程组 例如,设有方程组 x1+x,=1 +2x,=1 x+2x2=2 (3) +4x,=3
如果 中至少有一个不为零，那么(2.1)称为非齐次 线性方程组； b b b m , , , 1 2 满足方程组(2.1)的 元有序数组 称为方程组（2.1）的一个解． 方程组（2.1）的所有解组成的集合称为方程组（2.1）的解集． 方程组（2.1）的解集可能是空集，此时方程组（2.1）无解． 如果方程组有解，那么称它是相容的；如果方程组无解，那么 称它不相容．如果两个方程组有相同的解集，那么称它们是等 价的方程组． n = = n n c c c x x x 2 1 2 1 x 例如, 设有方程组 (1) , (2) , (3) . − = + = 2 1 1 1 2 1 2 x x x x + = + = 2 2 2 1 1 2 1 2 x x x x + = + = 2 4 3 2 1 1 2 1 2 x x x x 否则那么(2.1)称为齐次线性方程组．
容易验证,方程组(1)与(2)有解,从而它们是相容的; 方程组(3)无解,从而它是不相容的.虽然方程组(1) 与(2)都有解,但是它们的解的个数不一样:方程组 1)有唯一的解 而方程组(2)有无穷多解 其中t为任意数 也可以验证方程组∫x+x2=1 3. 与方程组(1)有相同的解集,即它们是等价的方程组
容易验证，方程组（1）与（2）有解，从而它们是相容的； 方程组（3）无解，从而它是不相容的．虽然方程组（1） 与（2）都有解，但是它们的解的个数不一样：方程组 （1）有唯一的解 而方程组（2）有无穷多解 其中 为任意数． = 3 1 3 2 2 1 x x − = t t x x 2 1 1 t 也可以验证方程组 与方程组（1）有相同的解集，即它们是等价的方程组． = + = 3 1 1 2 1 2 x x x