第二节.行列式的性质和计算 1行列式的性质 性质1.设A=(a)是n阶矩阵,A是A的转置矩阵,则 A4=|4 即行列式经过转置后其值不变 性质2如果行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如行列式D的第行的元素都是两数之和
第二节. 行列式的性质和计算 1. 行列式的性质 性质1.设 是n阶矩阵， 是A的转置矩阵，则 即行列式经过转置后其值不变. ( ) ij A = a A A = A 性质2.如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和， 例如行列式D的第i行的元素都是两数之和 返 回 第 三 章
D a tb a+b 那么D等于下列两行列式的和,即D=D+D2,其中
n n n n i i i i i n i n n n a a a a b a b a b a a a a a a D 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 + + + = 那么D等于下列两行列式的和，即 D = D1 + D2 ，其中 n n n n i i i n n n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 = n n n n i i i n n n a a a b b b a a a a a a D 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 =
性质3(行列式的初等变换)设A为n阶矩阵, (1)交换A第行(列)的位置得到A1,则4=4 (2)把A的第行(列)乘以数k≠0得到A2,则A4|=k4 (3)把的第行(第i列)的k倍加到第i(第j列)上得到 3 则 推论1设A是任意的n阶矩阵,则对m阶初等矩阵E都有 EA=酬4及AE=4E 推论2如果行列式有两行(列)元素成比列,那么这个行列 式为零 2.行列式的计算
性质3（行列式的初等变换）设A为n阶矩阵， （1）交换A第i,j行（列）的位置得到A1，则 ; （2）把A的第j行（列）乘以数 得到 A2 ，则 ； A1 = − A k(k 0) A2 = k A （3）把的第j行（第i列）的k倍加到第i行（第j列）上得到 A3，则 A3 = A 推论１ 设A是任意的n阶矩阵，则对n阶初等矩阵E都有 EA = E A及 AE = A E 推论２ 如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列 式为 零． 2. 行列式的计算
例4计算行列式 D 113 解 11 2034 200-8 ×1×1×1×33 2|0014 200142 00-81 00033
例4 计算行列式 1 1 2 5 2 4 1 1 2 1 1 1 1 3 2 3 2 1 − − − D = 解 . 2 33 1 1 1 33 2 1 0 0 0 33 0 0 1 4 0 1 4 1 1 1 1 3 2 1 0 0 8 1 0 0 1 4 0 1 4 1 1 1 1 3 2 1 0 0 1 4 0 0 8 1 0 1 4 1 1 1 1 3 2 1 0 1 4 1 0 3 4 2 0 0 1 4 1 1 1 3 2 1 1 2 3 2 2 5 2 4 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 3 4 4 3 2 4 3 2 3 1 2 1 4 1 4 8 3 2 2 = = − − − − − − − − − − − − − − − = = = = = ⎯→ + ⎯→ − − + − r r r r r r r r r r r r r r r D
利用初等变换计算行列式的另一个基本程序是,通过适 的初等变换把某一行(列)的元素尽可能化为零,然后按 该行(列)展开,降阶后再计算. 仍以例4为例 n +I 5-2100 4|按展开 D 1×x(-1)34-2 25244-12034-22 232 14 014 按c展开 34 0-81 1× 4 14 ×33 2-8
利用初等变换计算行列式的另一个基本程序是，通过适 当的初等变换把某一行（列）的元素尽可能化为零，然后按 该行（列）展开，降阶后再计算. 仍以例4为例. 1 4 1 3 4 2 0 1 4 1 ( 1) 2 1 0 1 4 1 0 3 4 2 0 0 1 4 1 1 1 3 2 1 1 2 3 2 2 5 2 4 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 4 1 4 − = − − − − − = − − − = + − + − r r 按c 展开 r r r r r D 8 1 1 4 2 1 8 1 1 4 1 ( 1) 2 1 1 4 1 0 8 1 0 1 4 1 4 1 3 4 2 0 1 4 2 1 1 3 2 1 3 2 3 1 − = − = − − = − − = − + r − r 按c 展开 2 33 33 2 1 = =