第二节初等矩阵 初等矩阵的概念 定义2由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩 阵三种初等行(列)变换对应着三种不同的初等矩阵 1.交换两行(或列)的位置 把单位矩阵中第,j行的位置交换)得初等矩阵 第i E(i,y) 第j行
第二节初等矩阵 一、初等矩阵的概念 定义2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩 阵.三种初等行（列）变换对应着三种不同的初等矩阵． 1．交换两行（或列）的位置 把单位矩阵 中第 行的位置交换 (ri rj ， ) 得初等矩阵 第 行 第 行 j i E i j = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , ) I i, j
交换单位矩阵中第订冽的位置(◇c),也可得初等矩 阵E(, 2.以非零数乘某一行(或列) 以非零数k乘单位矩阵的第i(k),得初等矩阵 e(i(k)) k 第i 以非零数k乘单位矩阵的第列(kc),也可得初等矩 阵E(k)
． 交换单位矩阵I中第i,j列的位置 ，也可得初等矩 阵 ． ( ) i j c c E(i, j) 2．以非零数乘某一行（或列） 以非零数k乘单位矩阵I的第i行 (kri ) ，得初等矩阵 E i k k 第i行 = 1 1 1 1 ( ( )) 以非零数k乘单位矩阵I的第i列 ，也可得初等矩 阵 ． ( )i kc E(i(k))
3.把某一行(或列)的k倍加到另一行(或列)上 把单位矩阵的第行的k倍加到第行上(r+{,得初 等矩阵 第i行 E(i,j(k) ←第 把单位矩阵的第冽列的k倍加到第j列上,也可得初 等矩阵E,)
3．把某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）上 把单位矩阵I的第j行的k倍加到第i行上 ，得初 等矩阵 ( ) i j r + kr 第 行 第 行 j k i E i j k = 1 1 1 1 ( , ( )) 把单位矩阵I的第i列的k倍加到第j列上，也可得初 等矩阵 E(i, j(k．))
例如,I2经过一次初等变换可以得到下列几种初等 矩阵 E(12)/0 k E(k)= k≠0 E(2()= k≠0 0 k E(2(k)= 01 E(21(k)=
例如， 经过一次初等变换可以得到下列几种初等 矩阵： ; , ; , ; ; ． 2 I ( ) = 1 0 0 1 E 1,2 ( ( )) = 0 1 0 1 k E k k 0 ( ( )) = k E k 0 1 0 2 k 0 ( ( )) = 0 1 1 1,2 k E k ( ( )) = 1 1 0 2,1 k E k
初等矩阵与矩阵初等变换 考虑初等矩阵与矩阵初等变换的对应关系 用m阶介初等矩阵En()左乘矩阵A=a)n,得 第i行 第行 其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第订 行交换位置G←)类似地,以n阶初等矩阵E1()右乘 矩阵A,其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把的第订列交换位置(c) 同样可以验证:以En(k)左乘矩阵,其结果相当于对矩阵 施行第二种初等行变换:以非零数k乘第行(kx);以E、(k)
( ) 第 行 第 行 j i a a a a a a a a a a a a E i j A m n in jn n m i j m i j m = 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 , 其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i,j 行交换位置 (ri rj ) ；类似地，以n阶初等矩阵 右乘 矩阵A ，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换： 把的第i,j列交换位置 ． E (i j) n , ( ) i j c c 同样可以验证：以 左乘矩阵，其结果相当于对矩阵 施行第二种初等行变E (i(k)) m 换：以非零数k乘第i行 (kri ) ；以 E (i(k)) n 二、 初等矩阵与矩阵初等变换 考虑初等矩阵与矩阵初等变换的对应关系． 用m阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘矩阵 A = (aij) mn ，得