(5)川∬(x+y+z)小t=3∬xdt,其中2：x+y+:=1及 x0,y0,:0 4、通常在什么情况下采用柱坐标或球坐标计算三重积分比较方便？ 5、何谓三重积分的“先二后一”计算法？在什么情况下采用此法比较方便？ 五、典型例题分析 例1将I=[fx,y)dG表示为累次积分，其中D:由 2+y2=8y=0,x=2=1所围。 分析先画出积分域D的草图。由图可见，若选择先y后x的 积分次序，积分将分为三段 计算量较大。所以本题应选先x后y的积分次序。 解1=达 2计血雾+。血雾 图91 分析按题中所给积分次序进行积分，将比较困难，若更换积分次序，会比较方便。这 首先需要根据所给积分限画出积分区域的草图（图91），然后改选先x后y的积分次 序，再定限积分。 解 t广如-小-头影小 π 2y -2imsy-sw-+ 小结如何选择积分次序？ (1)取决于积分区域的形状，要使积分域的分块情况最简单， (2)取决于被积函数的具体形式，使先作的积分简便，有时甚至先积分中的被积函数没 有初等原函数，如积分。e少只有改变积分次序，才能达到积分的日的。 在作重积分计算时，应注意下面几点： 应选择好适当的坐标系 “般选坐标系应兼顾被积函数与积分区域两头 如被积函 数为？+y)积分区域为圆形，或其一部分，应选极坐标系。但两头都能兼顾的情况是 很少的，一般以区域优先考虑。如区域为圆形、扇形、圆环或区域边界用极坐标方程 表达较简单时，应选极坐标，否则选直角坐标。 2)应尽量利用对称性，但对称性也必须兼顾两头，即区域或被积函数。具体方法如下： (1)若区域D关于x轴对称（图92），则
26 （5） (x + y + z)dxdydz = 3 xdxdydz ，其中 : x + y + z = 1 及 x≥0,y≥0,z≥0 4、通常在什么情况下采用柱坐标或球坐标计算三重积分比较方便？ 5、何谓三重积分的“先二后一”计算法？在什么情况下采用此法比较方便？ 五、典型例题分析 例 1 将 = D I f (x, y)d 表 示 为 累次 积分 ，其 中 D: 由 , 1 2 1 8, 0, 2 2 2 x + y = y = x = y y = 所围。 分析 先画出积分域 D 的草图。由图可见，若选择先 y 后 x 的 积分次序，积分将分为三段， 计算量较大。所以本题应选先 x 后 y 的积分次序。 解 − = 1 0 8 2 1 2 2 ( , ) y y I dy f x y dx 例 2 计算 + 4 2 2 2 1 2 sin 2 sin dy y x dy dx y x dx x x x 分析 按题中所给积分次序进行积分，将比较困难，若更换积分次序，会比较方便。 这 首先需要根据所给积分限画出积分区域的草图（图 9-1），然后改选先 x 后 y 的积分次 序，再定限积分。 解 原式= dx y x dy y y 2 1 2 2 sin = − 2 1 2 2 cos 2 dy y y x y y = − − 2 1 ) 2 cos 2 (cos 2 y y dy = (2 ) 4 2 + 小结 如何选择积分次序？ （1）取决于积分区域的形状，要使积分域的分块情况最简单； （2）取决于被积函数的具体形式，使先作的积分简便，有时甚至先积分中的被积函数没 有初等原函数，如积分 − 2 0 2 2 x y dx e dy 只有改变积分次序，才能达到积分的目的。 在作重积分计算时，应注意下面几点： 1） 应选择好适当的坐标系，一般选坐标系应兼顾被积函数与积分区域两头。如被积函 数为 f(x 2+y 2 )积分区域为圆形，或其一部分，应选极坐标系。但两头都能兼顾的情况是 很少的，一般以区域优先考虑。如区域为圆形、扇形、圆环或区域边界用极坐标方程 表达较简单时，应选极坐标，否则选直角坐标。 2）应尽量利用对称性，但对称性也必须兼顾两头，即区域或被积函数。具体方法如下： （1）若区域 D 关于 x 轴对称（图 9-2），则 图 9-1
[2[f(x.y)dxdy,(x-)=f(x.y) 0, 当fx,-y)=-f(x,) (2)若区域D关于y轴对称（图9-3），则 2f(x,y)dxdy,(-x,y)=f(x,y) J∬fx,yk= 0 当f(-x,y)=-f(x,y) (3)若区域D关于x轴和y轴均对称（图94），则 [4f[f(x.y)dxdy.(-x.-y)=f(x.y) ∬fcd= 当f(-x,-y)=-f(x,y) 0. 或f(x,-)=-f(, 图9-2 图9-3 例3计算下列二重积分 (I)∬+y其中D=(x,y+s1) (2)川(x2+y2)d,其中D是以(0,0，.1,0X0,1)为顶点的三角形。 (3)川l+(x2+y,其中D由=，=1,1围成，才是连续函数。 分析(1)D为方形域，应选直角坐标系。因积分区域关于x、y轴都对称，函数：以+ 中y关于y是奇函数，而关于x,y都是偶函数，故应分成两个积分。 (2)虽然x片+)，但区域为方形，故仍应选直坐标计算。又因D为轮换对称 (如(x,y)eD=oy,x)eD),故「xdy=y2dkdy (3)被积函数出现抽象形式x2+y,直接积分是不可能得到结果的。但应注意，其 之
27 − = − − = = D D f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 当 当 （2）若区域 D 关于 y 轴对称（图 9-3），则 − = − − = = D D f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 当 当 （3）若区域 D 关于 x 轴和 y 轴均对称（图 9-4），则 − = − − − = − − − = = D D f x y f x y f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, 4 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 或 当 当 图 9-2 图 9-3 图 9-4 例 3 计算下列二重积分 （1） + = + D ( x y)dxdy,其中D {(x, y) x y 1} （2） + D (x y )dxdy 2 2 ，其中 D 是以(0,0),(1,0)(0,1)为顶点的三角形。 （3） + + D x[1 yf (x y )]dxdy 2 2 ，其中 D 由 y=x 3，y=1，x=-1 围成，f 是连续函数。 分析 （1）D 为方形域，应选直角坐标系。因积分区域关于 x、y 轴都对称，函数 f(x,y)= x + y 中 y 关于 y 是奇函数，而 x 关于 x，y 都是偶函数，故应分成两个积分。 （2）虽然 f(x,y)=f(x 2+y 2 )，但区域为方形，故仍应选直坐标计算。又因 D 为轮换对称 （如 (x, y) D ( y, x) D ），故 = D D x dxdy y dxdy 2 2 (3)被积函数出现抽象形式 f(x2+y2 )，直接积分是不可能得到结果的。但应注意，其