推论1如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零， 那末f(x)在区间I上是一个常数. 证明：在上任取两点x1,x,(x1<x2), 则f(x2)-f(x)=f'(5)x2-x)(x1<5<x2) f'(5)=0,∴f(x2)-f(x)=0即f(x2)=f(x) 由于x,x,的任意性，所以f(x)在I上是常数. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
例2证明arcsinx+arccos,.x=严（-1≤x≤1)， 2 证 设f)=arcsinx+-aos.xx∈H, 1 f'(x)= 1 .f(x)≡C,x∈-1， 又：f(O)=arcsin0(+arccost0=0+ 22’ 即C=π 21 .∴arcsinx+arccosx= 2 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
3证明当xr>0时，<ln1+x 证设f(x)=ln(1+x, f(x)在0，x上满足拉氏定理的条件， ∴f(x)-f0)=f'(传)(x-0),(0<ξ<x) 1 :f0)=0,f'()=1+x由上式得n1+)= 1+ξ' 11<1, 又：0<5<x1<1+<1+x1+x1+E ,< 1+x1+ξx即.<lna+< 1+x 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
4 柯西(Cauchy)中值定理 柯西 柯西(Cauchy)中值定理如果函数f(x)及F(x) 在闭区间[a,b1上连续，在开区间(a,b)内可导，且F'(x) 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少 有一点(a<5<b),使等式 f@)-f_f(成立. F(a)-F(b)F'(飞) 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
几何解释： y (X=F(x) 在曲线弧AB上至少有 IY=f(x) C B 一点C(F(传)f(传)，在 该点处的切线平行于 弦AB. O F(a)F()F(x) F(:)F(b)X 证作辅助函数 ()-f(x)-f(a)-f(b)-f(@[F()-F(a)l F(b)-F(a) p(x)满足罗尔定理的条件， 则在(a,b)内至少存在一点5，使得φ'（传）=0. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 20