第一章函数极限连续 一、知识结构图与学习要求 (一)知识结构图 函数的概念 函数的几种特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性 函数 反函数 复合函数 初等函数 极限的概念 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性 极限存在准则了 夹逼准则 单调有界准则 数 极限 两个重要极限 极 四则运算法则 极限运算法则 复合函数的极限运算法则 无穷大与无穷小 连续与间断的概念 间断点的分类 和、差、积、商的连续性 反函数的连续性 连续 连续函勒的算性质 复合函数的连续性 初等函数的连续性 有界性定理与最值定理 闭区间上连续函数的性质了 零占定理与介值定理 (二)学习要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立荷单应用问题中的函数关系式。 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念
第一章 函数 极限 连续 一、知识结构图与学习要求 （一）知识结构图 （二）学习要求 1．理解函数的概念,掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 函 数 与 极 限 连续与间断的概念 函数的几种特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性 函 数 连 续 复合函数 反函数 四则运算法则 复合函数的极限运算法则 初等函数 闭区间上连续函数的性质 间断点的分类 连续函数的运算性质 极 限 极限存在准则 两个重要极限 极限的概念 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性 夹逼准则 单调有界准则 极限运算法则 无穷大与无穷小 复合函数的连续性 反函数的连续性 和、差、积、商的连续性 有界性定理与最值定理 零点定理与介值定理 初等函数的连续性 函数的概念
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极 限之间的关系。掌握极限的性质及四则运算法则 6。掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的 方法. 7.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性 定理、最大值和最小值定理、零点定理与介值定理)并会应用这些性质。 二、内容提要 (一)函数 1.函数概念 函数是微积分学研究的对象，它具有两个要素（定义域与对应法则）， 函数与自变量及 因变量选用字母无关.另外，两个函数相等指其对应两个要素相同. 2.函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性 (1)奇函数与偶函数的定义域均关于坐标原点对称，并且奇函数对应的图形关于坐标 原点对称，偶函数对应的图形关于y轴对称。 (2)函数的单调性是在其相关定义区间上讨论，研究函数的单调性既可以用单调性定 义的方法也可以采用将在第三章介绍的方法。 (3)周期函数的定义域是无界集，其周期通常指最小正周期，但并非每个周期函数都 有最小正周期. (4)函数的有界性依地于所讨论的区间.函数在风间/上有界的充要条件是哥有上界 又有下界. 3.复合函数 多个函数能否复合成一个函数要满足一定条件，得到的复合函数的定义域可能减小.另 外，复杂的函数则可分解为形式较简单的函数。复合函数是微积分学研究的主要对象之一， 读者应熟练掌握函数的复合与分解的方法. 4.分段函数 在定义域内的若干部分定义域上分别给出不同表达式的一个函数称之为分段函数.常见 分段函数表示法： (1)分段表示的函数.如 f(x)= 0.x=0 [L x>0 sgnx=0,x=0(符号函数)等】 -1,x<0
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极 限之间的关系．掌握极限的性质及四则运算法则． 6．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的 方法． 7．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性 定理、最大值和最小值定理、零点定理与介值定理）并会应用这些性质． 二、内容提要 （一）函数 1．函数概念 函数是微积分学研究的对象，它具有两个要素（定义域与对应法则），函数与自变量及 因变量选用字母无关．另外，两个函数相等指其对应两个要素相同． 2．函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性 （1）奇函数与偶函数的定义域均关于坐标原点对称，并且奇函数对应的图形关于坐标 原点对称，偶函数对应的图形关于 y 轴对称． （2）函数的单调性是在其相关定义区间上讨论， 研究函数的单调性既可以用单调性定 义的方法也可以采用将在第三章介绍的方法． （3）周期函数的定义域是无界集，其周期通常指最小正周期，但并非每个周期函数都 有最小正周期． （4）函数的有界性依赖于所讨论的区间．函数在区间 I 上有界的充要条件是既有上界 又有下界． 3．复合函数 多个函数能否复合成一个函数要满足一定条件，得到的复合函数的定义域可能减小．另 外，复杂的函数则可分解为形式较简单的函数．复合函数是微积分学研究的主要对象之一， 读者应熟练掌握函数的复合与分解的方法． 4．分段函数 在定义域内的若干部分定义域上分别给出不同表达式的一个函数称之为分段函数．常见 分段函数表示法： （1）分段表示的函数．如 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = ， 1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x x x x = = − （符号函数）等．
(2)含有绝对值符号的函数，也是分段函数.如 f倒20 -x.x<0 (3)含参变量的极限式表示的函数.如 =0 ,0xk1 等，此类函数应当通过求极限把函数写成分段表示式：x)=0,x=-1。 2 x=1 (4)其他形式的分段函数，如 f-sm本，0≤x≤： g(x)=min{2,x2},-3sx≤2： )= ,x>0 等.这些函数实际上也是分段函数，均可改写成分段表示式 cos2x-sin2x,0≤x≤ f(x)=(sin2x-cos2x) sin2x-c0s2x,≤x≤ 8=,xe3-UW5.2 x2, x∈-5，] 0<x<1 h(x)= nsx<n+lneN 后面将对分段函数的极限、连续性、导数与微分等问题分别进行讨论 5.反函数 在同一坐标系下，y=f)与其反函数y=厂(x)的图形关于直线y=x对称：另外 y=f(x)的定义域为y=厂(x)的值域：y=f(x)的值域为y=厂(x)的定义域.利用两者的 这一关系，有时可用来求函数的定义域与值域， 6.隐函数 通过方程式F(x,)=0给出的两个变量x和y之间的函数关系称为隐函数 从F(x,)=0中解出y=∫x)或x=g)这一过程称为隐函数的显化.并非所有的隐函 数都可以显化，比如y=ey就不能显化 7.基本初等函数和初等函数 (1)基本初等函数共有五类 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.读者应熟练掌握基本初等函数
（2）含有绝对值符号的函数，也是分段函数．如 , 0 ( ) | | , 0 x x f x x x x = = − ． （3）含参变量的极限式表示的函数．如 2 1 2 1 1 1 ( ) lim n n n n x f x x x x + → + + + = − + ，| | 0 x 等，此类函数应当通过求极限把函数写成分段表示式： 1 , 0 | | 1 ( ) 0, 1 2, 1 1, | | 1 x x f x x x x = = − = ． （4）其他形式的分段函数，如 f x( ) = 1 sin 4 − x ， 0 2 x ； g x( ) = 2 min{2, } x ， − 3 2 x ； h x( ) = [ ] x x ， x 0 等．这些函数实际上也是分段函数，均可改写成分段表示式 2 cos 2 sin 2 ,0 8 ( ) (sin 2 cos 2 ) sin 2 cos 2 , 8 2 x x x f x x x x x x − = − = − ， 2 2, [ 3, 2) ( 2,2] ( ) , [ 2, 2] x g x x x − − = − ， 0, 0 1 ( ) , 1, x h x n n x n n N x = + ． 后面将对分段函数的极限、连续性、导数与微分等问题分别进行讨论． 5．反函数 在同一坐标系下， y f x = ( ) 与其反函数 1 y f x( ) − = 的图形关于直线 y x = 对称；另外， y f x = ( ) 的定义域为 1 y f x( ) − = 的值域； y f x = ( ) 的值域为 1 y f x( ) − = 的定义域．利用两者的 这一关系，有时可用来求函数的定义域与值域． 6．隐函数 通过方程式 F x y ( , ) 0 = 给出的两个变量 x 和 y 之间的函数关系称为隐函数． 从 F x y ( , ) 0 = 中解出 y f x = ( ) 或 x g y = ( ) 这一过程称为隐函数的显化．并非所有的隐函 数都可以显化，比如 x y xy e + = 就不能显化． 7．基本初等函数和初等函数 （1）基本初等函数共有五类： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数．读者应熟练掌握基本初等函数
的定义域、值域以及它们的图形与性质 (2)初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的四则侧运算和有限次的函数复合步 骤所构成并可用一个式子表示的函数】 (二)极限 1.极限的定义 (1)mx=A一E>0,3N>0,使得当n>N时，有x,-AKE (2)mf)=A台E>0,36>0,当0dx-xK6时，有f)-Ak6 (3)1imf)=A台6>038>0，当<x<+6时，有f)-AkE, (4)imfx)=A白e>0,36>0,当名-6<x<名时，有/-4kE (5)imf)=A台E>0,3X>0,当1xpX时，有fx)-Ak6 (6)lim f(x)=AeE>0,3X>0,当x>X时，有f(x)-AkE (7)mf)=A>0,3X>0,当x<-X时，有1fx)-AKE 2.数列与函数极限的性质 (1)唯一性： (2)有界性（或局部有界性）： (3)保号性（或局部保号性）： (4)数列极限与函数极限的关系 3。函数极限存在的充要条件 (1)m)=A台=e)=4, (2)limf(x)=4lim f(x)=lim f(x)=4. 4,两个准则与两个重要极限 (1)夹逼准则：在自变量x的同一变化过程中，g(x)Sx)sh(x).若 limg(x)=lim/(x)=4, 则limf(x)=A. 使用该准则时，将函数（或数列）放大与缩小成一个新的函数（或数列），而新的函数 (或数列)与原来的函数（或数列）只相差一个无穷小量。 (2)单调有界准则：单调有界数列必有极限. 使用该准则时，通常是用如下两个结论之一： a.单调递增且有上界则极限存在： b.单调递减且有下界则极限存在. 有界性的证明通常采用数学归纳法，而证明单调性则用作差或作商的方法。一般地，利
的定义域、值域以及它们的图形与性质． （2）初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步 骤所构成并可用一个式子表示的函数． （二）极限 1．极限的定义 （1） lim n n x A → = 0, 0 N ，使得当 n N 时，有 | | n x A − ． （2） 0 lim ( ) x x f x A → = 0, 0 ，当 0 0 | | − x x 时，有 | ( ) | f x A − ． （3） 0 lim ( ) x x f x A → + = 0, 0 ，当 0 0 x x x + 时，有 | ( ) | f x A − ． （4） 0 lim ( ) x x f x A → − = 0, 0 ，当 0 0 x x x − 时，有 | ( ) | f x A − ． （5） lim ( ) x f x A → = 0, 0 X ，当 | | x X 时，有 | ( ) | f x A − ． （6） lim ( ) x f x A →+ = 0, 0 X ，当 x X 时，有 | ( ) | f x A − ． （7） lim ( ) x f x A →− = 0, 0 X ，当 x X − 时，有 | ( ) | f x A − ． 2．数列与函数极限的性质 （1）唯一性； （2）有界性（或局部有界性）； （3）保号性（或局部保号性）； （4）数列极限与函数极限的关系． 3．函数极限存在的充要条件 （1） 0 lim ( ) x x f x A → = 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → → + − = = ． （2） lim ( ) x f x A → = lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = ． 4．两个准则与两个重要极限 （1）夹逼准则：在自变量 x 的同一变化过程中， g x f x h x ( ) ( ) ( ) ．若 lim ( ) lim ( ) g x h x A = = ， 则 lim ( ) f x A = ． 使用该准则时，将函数（或数列）放大与缩小成一个新的函数（或数列），而新的函数 （或数列）与原来的函数（或数列）只相差一个无穷小量． （2）单调有界准则：单调有界数列必有极限． 使用该准则时，通常是用如下两个结论之一： a．单调递增且有上界则极限存在； b．单调递减且有下界则极限存在． 有界性的证明通常采用数学归纳法，而证明单调性则用作差或作商的方法．一般地，利
用该准则时，先证明有界性，后证明单调性 (3)两个重要极限： @01: a+分=e lim(+e. 另外，有以下常用推广形式：设自变量x在同一变化趋势下，如果mfx)=0,且 fx)≠0，则有 mmf④-l, f(x) 与 limll+f(x)=e. 5.极限四则运算法则 在自变量x的同一变化过程中，如果1imfx)=A,limg(x)=B,则 (1)limlf(x)±g(x】=limf(x)±limg(x)=A±B, (2)lim[f(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)=4.B, 得子g0, 6.复合函数的极限运算法则 设y=f几g(x刃是由y=fu)与u=g(x)复合而成，几g(x]在点x的某去心邻域内有定 义.若1imgx)=6,1imfu)=A且存在d>0,当xeU(x,d)时，有gx)≠，则 lim f[g(x】=limf0=A. 该命题表明：如果fm)和g(x)满足相应的条件，那么作代换u=g(x)可把求m八g(x刃化 为求limf四)，这里%=limg). 7.幂指函数的极限 在自变量x的同一变化过程中，对于极限im(x)四，其中(x)>0且x)不恒等于1， 有以下情形： (1)当limu(x)=a,limx)=b,且a,b有限时，则有 limu(x))= (2)当1im(x)=1,lim(x)=0(或-0，或+o)时，则有
用该准则时，先证明有界性，后证明单调性． （3）两个重要极限： 0 sin lim 1 x x → x = ； 1 lim(1 )n n e → n + = 或 1 lim(1 )x x e → x + = ． 另外，有以下常用推广形式：设自变量 x 在同一变化趋势下，如果 lim ( ) 0 f x = ，且 f x( ) 0 ，则有 sin ( ) lim 1 ( ) f x f x = ， 与 1 ( ) lim[1 ( )]f x + = f x e． 5．极限四则运算法则 在自变量 x 的同一变化过程中，如果 lim ( ) f x A = ，lim ( ) g x B = ，则 （1） lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) f x g x f x g x = = A B ， （2） lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) f x g x f x g x = = A B ， （3） lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) f x f x g x g x = = A B ，其中 B 0 ． 6．复合函数的极限运算法则 设 y f g x = [ ( )] 是由 y f u = ( ) 与 u g x = ( ) 复合而成， f g x [ ( )] 在点 0 x 的某去心邻域内有定 义．若 0 0 lim ( ) x x g x u → = ， 0 lim ( ) u u f u → = A 且存在 0 0 ，当 0 0 x U x ( , ) ｏ 时，有 0 g x u ( ) ，则 0 lim [ ( )] x x f g x → = 0 lim ( ) u u f u → = A ． 该命题表明：如果 f u( ) 和 g x( ) 满足相应的条件，那么作代换 u g x = ( ) 可把求 0 lim [ ( )] x x f g x → 化 为求 0 lim ( ) u u f u → ，这里 0 0 lim ( ) x x u g x → = ． 7．幂指函数的极限 在自变量 x 的同一变化过程中，对于极限 ( ) lim ( )v x u x ，其中 u x( ) 0 且 u x( ) 不恒等于 1， 有以下情形： （1）当 lim ( ) u x a = ， lim ( ) v x b = ， 且 a ，b 有限时，则有 ( ) lim ( )v x b u x a = ． （2）当 lim ( ) 1 u x = ， lim ( ) v x = （或 − ，或 + ）时，则有