将罗尔定理条件中去掉f(a)=f(b),得到 3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日 拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数fx)在 闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那未在 (a,b)内至少有一点(a<飞<b),使等式 f(b)-f(a)=f'(传)(b-a)成立. 结论亦可写成f)-f@=∫'传， b-a 2012329 泰山医学院荷息工程学院高等数学教研室
几何解释： y=f(x) 在曲线弧AB上至少有 一点C,在该点处的切 线平行于弦AB. 证 证分析：条件中与罗尔定理相差f()=f(b). 法 弦AB方程为y=fa+fb)-f@(x-a. b-a 用曲线上点的纵坐标f(x)减去弦AB的纵坐标， 所得曲线a,b两端点的函数值相等。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
作辅助函数 F(x)-f(x)-If(a)+f(b)-f(@(x-al. b-a F(x)满足罗尔定理的条件， 则在(a,b)内至少存在一点5，使得F'(传)=0. 即f'5)-fb）-fa=0 b-a 拉格朗日中值公式 或f(b)-f()=f'(传)b-a) 注意：拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 2012329 素山医学院行息工程学院高等数学教研室
设f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)内可导， xo,x。+△r∈(a,b),则有 f(x+△)-f(x)=f'(x+0△x)△r(0<0<1). 也可写成△y=f'(x。+0△x)△x(0<0<1). 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
拉格朗日中值公式的几种表达形式 1)f(b)-f(a)=f'(5)b-a)(5在a与b之间) 2)f'(5)=f)-f@) (在a与b之间) b-a 3)fb)-f(a)=f'[a+0b-aI(b-a)(0<0<1) 4)f(x+△x)-f(x)=f'(x+Ax)△x(0<B<1) 5)△y=f'(x。+0△x).△×(0<0<1). 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室