几何解释： v=f(x) 曲线在最高点和最低点 显然有水平切线，其斜 率为0，当切线沿曲线连 bξ2b 续滑动时，就必然经过 位于水平位置的那一点， 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
2 罗尔Rolle)定理(Rolle's Theorem) 罗尔(RolIe)定理如果函数f(x)在闭区间[a,b) 上连续，在开区间(，b)内可导，且在区间端点的函数 值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 (a<5<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零， 即f(传)=0 y=f(x) B 几何解释： o a ξ2bx 连续曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研家
证：f(x)在[a,b]连续，必有最大值M和最小值m. ()若M=m.则f(x)=M. 由此得f'(x)=0.5∈(a,b),都有f'(传)=0. (2)若M≠m.:f(a)=f(b), .最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a), 则在(a,b)内至少存在一点5使f(5)=M. 因此，x∈[a,bl,有f(x)≤f(5), 从而由费马引理得'(5)=0， 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
注1：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结 论可能不成立， 例如，y=x,x∈-1,1 注2：罗尔定理的条件仅是 充分条件，不是必要的. 例如， [x2 -1≤x<1 f(x)= 0 x=1 '(0)=0 2012329 素山医学院行息工程学院高等数学教研室
例1证明方程x5+x-1=0有且仅有一个正实根. 证：1)存在性 设f(x)=x5+x-1,则f(x)在0,1连续， 且f(0)=-1,f)=1.由零点定理 3x。∈(0,1)，使f(x)=0.即为方程的正实根. 2)唯一性 设另有x1∈(0,1)，x1≠x,使f(x)=0. “f()在x,x,之间满足罗尔定理的条件， 至少存在一个5（在xx1之间），使得f'()=0. 但f'(x)=5x4+1>0(x∈(0,1)矛盾，.为唯一实根 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 10