第八章空间解析几何与向量代数 一、填空题 1.设向量a=(3,5,8),6=(2,-4-7),c=(5,1-4)则向量4a+36-c在y轴上的投影为 2.已知点M(-3,4,5),则点M到原点的距离为 ,点M到y轴距离为 ,点M到yoz平面距离为 3.己知向量a与x轴，y轴，z轴正向夹角依次为a,B,y,且a=45°，B=60°，则y= 4.设a=i+3j-2k,b=2i+6j+Lk且a与6垂直，则L= 5.设向量ā=3i-k,p=2i-3j+2k,则×B= 6.设向量a=(2,1m),b=(0m,-2,3),且a平行于6，则m=,=一。 7.设向量a与三个坐标轴夹角相等，即a=B=Y,则a的方向余弦为 8.对向量a,i,若d=3,阿=5，且a+k6垂直于a-k6,则k= 9.过点M(a,0,0),M2(0,b,0),M(0,0,c)的平面方程为 10.过x轴及点(L,L,-1)的平面方程为 11.点M,(1,2,1)到平面π：3x-4y+5z+2=0的距离为 12.过点ML,-1,2)和M2(2,1,0)的直线方程为 15.与已知直线L:号-兮-号垂直，且过点21-)的平面x的方程为 3 2 。 14.通过点M1,2,3)且与直线L:x=2+31,y=21,:=-1+1,垂直的平面方程为 15.通过点Mo(0,2,4)且与两个平面π1：x+y-2:-1=0,π2：x+2y-2+1=0都平行的 直线方程是 16.设平面x+y-2:=9与平面2x+4y+3z=3垂直，则k= 17.已知球面方程为x2+y2+:2-2x+2y+4z+2=0,则球心坐标为 ,半径为 18.方程x2+y2=1在平面直角坐标系中表示的曲线是 ,在空间直 角坐标系中表示的曲面是」
第八章 空间解析几何与向量代数 一、填空题 1．设向量 a = (3,5,8) ， b = (2,−4,−7) ， c = (5,1,−4) 则向量 4a + 3b − c 在 y 轴上的投影为 _。 2．已知点 M (−3,4,5) ，则点 M 到原点的距离为_，点 M 到 y 轴距离为 _，点 M 到 yoz 平面距离为_。 3．已知向量 a 与 x 轴，y 轴，z 轴正向夹角依次为α，β， ，且α=45°，β=60°，则 =_。 4．设 a = i + 3 j − 2k ，b = 2i + 6 j + Lk 且 a 与 b 垂直，则 L=_. 5．设向量 a i k = − 3 ， = − + 2 3 2 i j k ，则 =_。 6．设向量 a = (2,1,m)，b = (n,−2,3) ，且 a 平行于 b ，则 m=_，n=_。 7．设向量 a 与三个坐标轴夹角相等，即α=β=γ，则 a 的方向余弦为_。 8．对向量 a ，b ，若 a = 3， b = 5 ，且 a + kb 垂直于 a − kb ，则 k=_。 9．过点 ( ,0,0) M1 a ， (0, ,0) M2 b ， (0,0, ) 3 M c 的平面方程为_。 10．过 x 轴及点 (1,1,−1) 的平面方程为_。 11．点 (1,2,1) M0 到平面 ：3x − 4y + 5z + 2 = 0 的距离为_。 12．过点 (1, 1,2) M1 − 和 (2,1,0) M2 的直线方程为_。 13 ．与已知直线 L ： 2 1 1 3 1 − = − = x + y z 垂直，且过点 M (2,1,−5) 的平面 的方程为 _。 14．通过点 M (1,2,3) 且与直线 L： x = 2+3t ， y = 2t ， z = −1+t ，垂直的平面方程为 _。 15．通过点 (0,2,4) M0 且与两个平面 1：x + y − 2z −1 = 0 ， 2 ：x + 2y − z +1 = 0 都平行的 直线方程是_。 16．设平面 x + ky − 2z = 9 与平面 2x + 4y + 3z = 3 垂直，则 k=_。 17．已知球面方程为 2 2 4 2 0 2 2 2 x + y + z − x + y + z + = ，则球心坐标为_,半径为 _. 18．方程 1 2 2 x + y = 在平面直角坐标系中表示的曲线是_，在空间直 角坐标系中表示的曲面是_
19.过原点的平面方程的一般形式为 ,过y轴的平面方程为 0亿8在空润直物标系中表标 21.点P(x,o,)关于x轴的对称点坐标是 关于x0y平面的 对称点坐标是 一，关于坐标原点的对称点坐标是 22.若日=13，月=19，日+=24，则a-8= 23.已知向量a,i,且d=2,同=3，则(axi)-(ax+(a6a-b)= 24.若两非零向量，i的方向余弦分别为cosa1,cosB1,cosY1和c0sa2,cosB2,cosY2 则cosa,b)= 25.已知曲线L: 2y2+2=1 ，则曲线L绕z轴旋转一周所生成的曲面方程为 x=0 26.空间曲线L: =x2+22 关于xoy平面的投影柱面方程是 投影曲 z=2-x2 线方程是 二、单选题： 27.设a,b为两个非零向量，x为非零常数，若向量a+b垂直于向量i,则λ等于 a.b C.1 D.ab 28.设ā=(-1,1.2)，b=(3,0.4),则向量a在向量6上的投影为() .6 B.1 29.设a=(-112),6=(2,0.1),则向量a与6的夹角为() A.0 B.8 C. D. 30.设向量a同时与向量b=3i+j+4k及c=i+k垂直，则a方向上的单位向量等于( 人方+方+-方方+方 D.i-j+k
19 ． 过原 点的 平面 方程 的 一般 形式 为 _ ，过 y 轴的 平面 方程 为 _。 20． = = 0 0 y x 在空间直角坐标系中表示_。 21．点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 关于 x 轴的对称点坐标是_，关于 xoy 平面的 对 称 点坐 标 是 _ ， 关于 坐标 原 点的 对称 点 坐标 是 _。 22．若 a =13 ， b =19， a + b = 24 ，则 a − b = _。 23．已知向量 a ，b ，且 a = 2， b = 3 ，则 ( ) ( ) ( )( ) a b a b a b a b + = _。 24．若两非零向量 a ，b 的方向余弦分别为 cosα1，cosβ1，cosγ1 和 cosα2，cosβ2，cosγ2， 则 cos( , ) a b =_。 25．已知 曲线 L： = + = 0 2 1 2 x y z ，则曲线 L 绕 z 轴旋转 一周所 生成的 曲面 方程为 _。 26．空间曲线 L： = − = + 2 2 2 2 2 z x z x y 关于 xoy 平面的投影柱面方程是_；投影曲 线方程是_。 二、单选题： 27．设 a ，b 为两个非零向量，λ为非零常数，若向量 a + b 垂直于向量 b ，则λ等于 （ ） A． 2 | b | a b B． 2 | b | a b − C．1 D．a b 28．设 a = (−1,1.2)，b = (3,0.4) ，则向量 a 在向量 b 上的投影为（ ） A． 6 5 B．1 C． 6 5 − D．—1 29．设 a = (−1,1.2)，b = (2,0.1) ，则向量 a 与 b 的夹角为（ ） A．0 B． 6 C． 4 D． 2 30．设向量 a 同时与向量 b = 3i + j + 4k 及 c = i + k 垂直，则 a 方向上的单位向量等于（ ） A． i j k 3 1 3 1 3 1 + − B．i + j − k C． i j k 3 1 3 1 3 1 − + D．i − j + k
31.点M(4,-3.5)到x轴的距离d=( A.+(-3)+5B.3y+5C.F+-3yD.④+5 3.设有直线产==三，则该在线必定( -3 A.过原点且垂直于x轴 B.过原点且平行于x轴 C.不过原点但垂直于x轴D.不过原点且不平行于x轴 34.在空间直角坐标系中，方程x2-4y-1)2=0表示(） A.两个平面B.双曲柱面 C.椭圆柱面 D.圆柱面 35.设有向量a=1.10),6=(0,0.1),则a-b=（) A.0 B.1 C.i-j D.j-i 6,直线：2-y+3=4与平面3x-y+2:=4的关系是() 人手行一品既不手行他不直 C.垂直 D.直线在平面上 37.方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是() 上大内 C.圆维面D.圆柱面 人)分专}c方方方宁 111 39.设非零向量a,6且a1i,则必有() A.b+=同+月B.b-=同-月cb+8-b-AD.a+i=a-6 40.己知向量a,b的模分别为日=4，月=2且ā-6=42，则6x=() B.22C.4W2D.2 41.点P3,-1,2)在平面3x-y+2:-21=0上的投影点是() A6-12）B.020c号-3)D.←2-2) 42.设向量a=1,-2,1)6=(1,0,-2),则同时垂直于ā与6的单位向量是() B.ax D.4,3.2) 43.设三向量a,b,c满足关系式a+b+c=0,则a×b=() A.cxb B.bxc C.axe D.bxa
31．点 M (4,−3.5) 到 x 轴的距离 d =（ ） A． 2 2 2 4 + (−3) + 5 B． 2 2 (−3) + 5 C． 2 2 4 + (−3) D． 2 2 4 + 5 33．设有直线 0 4 − 3 = = x y z ，则该在线必定（ ） A．过原点且垂直于 x 轴 B．过原点且平行于 x 轴 C．不过原点但垂直于 x 轴 D．不过原点且不平行于 x 轴 34．在空间直角坐标系中，方程 4( 1) 0 2 2 x − y − = 表示（ ） A．两个平面 B．双曲柱面 C．椭圆柱面 D．圆柱面 35．设有向量 a = (1.1,0) ，b = (0,0.1) ，则 a b = （ ） A．0 B．1 C．i − j D． j − i 36．直线 2 4 1 3 3 2 − = − + = x − y z 与平面 3x − y + 2z = 4 的关系是（ ） A．平行 B．既不平行也不垂直 C．垂直 D．直线在平面上 37．方程 0 2 2 2 x + y − z = 表示的二次曲面是（ ） A．球面 B．旋转抛物面 C．圆锥面 D．圆柱面 38．与三个坐标轴夹角均相等的单位向量为（ ） A．（1，1，1） B．（ 3 1 ， 3 1 ， 3 1 ） C．（ 3 1 ， 3 1 ， 3 1 ） D．（ 3 1 − ， 3 1 − ， 3 1 − ） 39．设非零向量 a ，b 且 a ⊥ b ，则必有（ ） A． a + b = a + b B． a − b = a − b C． a + b = a − b D．a + b = a − b 40．已知向量 a，b 的模分别为 a = 4， b = 2 且 a b = 4 2 ，则 ab = （ ） A． 2 2 B． 2 2 C． 4 2 D．2 41．点 P(3,−1,2) 在平面 3x − y + 2z − 21 = 0 上的投影点是（ ） A． (3,−1,2) B．(7,2,1) C．（ 9 2 ， 2 3 − ，3 ） D．(− 2,−21,3) 42．设向量 a = (1,−2,1) b = (1,0,−2) ，则同时垂直于 a 与 b 的单位向量是（ ） A． a b a b B． a b C． a b − (4,3,2) D．（4，3，2） 43．设三向量 a ，b ， c 满足关系式 a + b + c = 0 ，则 a b = （ ） A． cb B．bc C． a c D．b a
45.平面Ax+y+C:+D=0过x轴，则() A.A=D=0B.B=0且C≠0C.B≠0且C=0D.B=C=0 46.设向量a,6满足a+=日-，则必有() A.a-b=0 B.a+6=0 c.a.6=0 D.axb=0 4直锁号学中与直线化，的胶角为《) 1 -21 AgB.年C. D.牙 49.两平行平面x-2y+2:-15=0,x-2y+2:+18=0间的距离为() A.1 B.3 c.1 D.33 50.空间点P1,3,-4)关于平面3x+y-2:=0的对称点是() A.5-1,0)B.51,0)C.（-5,-1,0)D.-5,10) 三、解答与计算： 1.设两点A1,2,3),B(0,-1,1),求：(1)向量AB:(2)AB:(3)OA:(4)与AB同方 向的单位向量AB:(5)AB在各坐标轴上投影：(6)AB的方向余弦。 3.求垂直于向量a=(2,2,)与向量b=(4,5,3)的单位向量 4.求以4,2,3)、B3,4,5)和C2,4,7)为顶点的△ABC的面积 5.求与向量a=2i-j+2k共线且满足a-b=-9的向量b。 6.设a+2b垂直于a-46,而a+4b垂直于a-2b,求向量a与b的夹角 7.若a=3,同=4且a1i.求la+ix(a- 8.己知点41，-1,2)，B(-2,0,3)及M(2l,-)三点，求过点M且与AB连线垂直的平面方程。 9.求过点(0,0,0)且与平面元1：x-y-2z+1=0及平面π2：3x-y+:+4=0同时平行 的直线方程。 10.已知平面π：x+2y-z+3=0,求过点(1,2,3)且与平面π垂直的直线方程。 11.试确定过M,(2,30),M,(-2,-3.4)及M,(0,6,0)三点的平面方程。 12.求过点Mo(-1,2,1)且平行于直线L的直线方程，其中L: x+y-2z-1=0 x+2y-2+1=0 13.判定各组平面之间的关系：
45．平面 Ax + By + Cz + D = 0 过 x 轴，则（ ） A． A = D = 0 B． B = 0 且 C 0 C． B 0 且 C = 0 D． B = C = 0 46．设向量 a ，b 满足 a + b = a − b ，则必有（ ） A． a − b = 0 B． a + b = 0 C．a b = 0 D．a b = 0 48．直线 1 5 2 5 1 1 + = − − = x − y z 与直线 + = − = 2 3 6 y z x y 的交角为（ ） A． 6 B． 4 C． 3 D． 2 49．两平行平面 x − 2y + 2z −15 = 0， x − 2y + 2z +18 = 0 间的距离为（ ） A．1 B．3 C．11 D．33 50．空间点 P(1,3,−4) 关于平面 3x + y − 2z = 0 的对称点是（ ） A． (5,−1,0) B．(5,1,0) C．(−5,−1,0) D．(− 5,1,0) 三、解答与计算： 1．设两点 A(1,2,3)， B(0, 1,1 − ) ，求：（1）向量 AB ；（2） AB ；（3） OA ；（4）与 AB 同方 向的单位向量 AB ；（5） AB 在各坐标轴上投影；（6） AB 的方向余弦。 3．求垂直于向量 a = (2,2,1) 与向量 b = (4,5,3) 的单位向量。 4．求以 A(1,2,3)、 B(3,4,5) 和 C(2,4,7) 为顶点的△ABC 的面积。 5．求与向量 a = 2i − j + 2k 共线且满足 a b = −9 的向量 b 。 6．设 a + 2b 垂直于 a − 4b ，而 a + 4b 垂直于 a − 2b ，求向量 a 与 b 的夹角。 7．若 a = 3， b = 4 且 a ⊥ b 。求 (a + b)(a − b) 8．已知点 A(1,−1,2) ， B(−2,0,3) 及 M (2,1,−1) 三点，求过点 M 且与 AB 连线垂直的平面方程。 9．求过点（0，0，0）且与平面 1：x − y − 2z +1 = 0 及平面 2 ：3x − y + z + 4 = 0 同时平行 的直线方程。 10．已知平面 ： x + 2y − z + 3 = 0 ，求过点（1，2，3）且与平面π垂直的直线方程。 11．试确定过 (2,3,0) M1 ， ( 2, 3,4) M2 − − 及 (0,6,0) M3 三点的平面方程。 12．求过点 ( 1,2,1) M0 − 且平行于直线 L 的直线方程，其中 L： + − + = + − − = 2 1 0 2 1 0 x y z x y z 。 13．判定各组平面之间的关系：
(1)π1：x-y+2z=1:π2：-3x+3y-6z=2 (2)π1：x-y+2z=1:π2：3x+y-2=2 (3)π1：x-y+2z=1:π2：2x+y+z=1 14.判定各组直线之间的关系： DL:=+1=2L:+1-y+2- 1 1 5 -1 2 ot号兮岁-出 2 3 2 -12 15.判定各组平面与直线之间的位置关系： (2)L,2=y+2-3和：x+y+:=3 31 -4 0L青-支-号和：3x-2y+7:=8 4L+2-1和：x-y+:=1 16.指出下列方程在空间直角坐标系中所表示的曲面名称： w+护4-2-0a+号+号1 (3)x2+y2-22=0 (4)x2+y2= (5):=y2 (6)y2+2=1 (7)x+2y2+2:2=1 (8)12x+2y+2=6 (9)x2+4y2=4y (10)x2-4y2=4y 17.将直线+y+:=3 化为标准式方程。 3x-3y+5z=5 18.求过两点A(-2,13)和B(-1,-2,-3)直线的标准式方程和参数式方程 以求直线号3-生子-丹与平面+2+2=6的交点 -2 20.已知向量ā和6互相垂直，日=3，月-4.试求3a-)x(a-2 21.求与向量a=2i-j+2k共线且满足a·x=-18的向量x。 2.已知a,i,c两两垂直，且同-=1，=2，日=3，求S=a+6+c的长度和它与向量方
（1） 1： x − y + 2z = 1 ； 2 ： − 3x + 3y − 6z = 2 （2） 1： x − y + 2z = 1 ； 2 ：3x + y − z = 2 （3） 1： x − y + 2z = 1 ； 2 ： 2x + y + z = 1 14．判定各组直线之间的关系： （1）L1： 2 2 1 1 1 1 − = − + = x − y z L2： 4 1 2 2 2 1 − − = + = − x + y z （2）L1： 2 2 1 1 1 1 − = − + = x − y z L2： 1 2 1 1 1 + = = − x + y z （3）L1： 2 1 3 1 2 1 + = − = x + y z L2： 2 2 1 1 1 − = − + = x y z 15．判定各组平面与直线之间的位置关系： （1）L： 3 3 7 2 2 2 − = − + = − x − y z 和π： 4x − 2y − 2z = 3 （2）L： 4 3 1 2 3 2 − − = + = x − y z 和π： x + y + z = 3 （3）L： 3 2 7 x y z = − = 和π： 3x − 2y + 7z = 8 （4）L： 2 1 1 2 3 1 + = + = x − y z 和π： x − y + z = 1 16．指出下列方程在空间直角坐标系中所表示的曲面名称： （1） 2 0 2 2 2 x + y + z − z = （2） 1 1 4 9 2 2 2 + + = x y z （3） 0 2 2 2 x + y − z = （4） x + y = z 2 2 （5） 2 z = y （6） 1 2 2 y + z = （7） 2 2 1 2 2 x + y + z = （8） 12x + 2y + z = 6 （9） x 4y 4y 2 2 + = （10） x 4y 4y 2 2 − = 17．将直线 − + = + + = 3 3 5 5 3 x y z x y z 化为标准式方程。 18．求过两点 A(−2,1,3) 和 B(−1,−2,−3) 直线的标准式方程和参数式方程。 19．求直线 1 1 2 2 3 3 − = − + = x + y z 与平面 x + 2y + 2z = 6 的交点。 20．已知向量 a 和 b 互相垂直， a = 3， b = 4 。试求 (3a − b)(a − 2b) 21．求与向量 a = 2i − j + 2k 共线且满足 a x = −18 的向量 x 。 22．已知 a ，b ，c 两两垂直，且 a = 1， b = 2 ，c = 3 ，求 S = a + b + c 的长度和它与向量 b