《高等数学》课程教学资源（作业习题）第九章练习题

高等数学—一第九章多元微分 第九章多元函数微积分 一、填空题 L函数：=asn言+acsm号的定义域为（>0.b>0) 2.若fx+yx-)=xy+y2,则fx,) 30+- ‘期。 3:行盟 6量：户，则会 1设：=+，则会+ 8.设：=acsx,则空 9.设化川=x+y-+少，则3,4= 10.设二元函数：=(x+y),则= 1.由方程Mx2+y少)=2 arctan兰确定的隐函数y=j)的导数空 12.函数fx,y)=4x-)-x2-y2的极大值点为 一，极大值为 13.已知：=(9,其中f为任意可微函数，则三 14.已知x,y,)=xy2:2,其中：=(x,)由方程x3+y3+:3-3x=0所确定的隐函数，则 f(-1,0) x=1 15.曲线 y=p 在点(1,1,1)处的切线方程为 ,法平面方程为 =t 16.函数：=x2+3y在点(1,2)处沿x轴正向的方向导数为 设：=+功则胎 18。曲面：=子+少与平面y=4的交线在x=2处的切战与×轴正向所成角为 A 19面：=22+3在点（兮子，寻处的彻面 20.M(1,1,2)为曲面：=f(x,)上的一点，L-=2,f0-)=-2,则曲面在点M处的切 1.设f(x,y)=x2+y2 ；x+少产0在点0.0)处() 0 ；x2+y2-0 A.连续，偏导数存在 B.连续，偏导数不存在 43

高等数学-第九章 多元微分 43 第九章 多元函数微积分 一、填空题 1．函数 b y a x z = arcsin + arcsin 的定义域为（a＞0，b＞0）_。 2．若 2 f (x + y, x − y) = xy + y ，则 f (x, y) = _。 3． + = → → y y x k y x lim (1 ) _。 4． = → → x xy y x sin lim 2 0 _。 5．设 xy z 1 = ，则 =   x z _。 6．设 x z y 2 = ，则 =   x z _。 7．设 3 z = xy + x ，则 =   +   y z x z _。 8．设 z = arcsin( x y) ，则 =   y z _。 9．设 2 2 f (x, y) = x + y − x + y ，则 f x (3,4) = _。 10．设二元函数 ln( ) 2 z = x + y ，则 = = = 0 1 y dz x _。 11．由方程 x y ln( x y ) 2arctan 2 2 + = 确定的隐函数 y = f (x) 的导数 = dx dy _。 12．函数 2 2 f (x, y) = 4(x − y) − x − y 的极大值点为_，极大值为_。 13．已知 ( ) 2 z = f xy ，其中 f 为任意可微函数，则 =   x z _。 14．已知 3 2 2 f (x, y,z) = x y z ，其中 z = z(x, y) 由方程 3 0 3 3 3 x + y + z − xyz = 所确定的隐函数，则 f x (−1,0,1) =_。 15．曲线      = = = 3 2 z t y t x t 在点（1，1，1）处的切线方程为_，法平面方程为 _。 16．函数 z = x + xy 2 3 在点 (1 , 2 ) 处沿 x 轴正向的方向导数为 ． 17．设 z = x ln( x + y) ，则 =    y x z 2 _。 18．曲面 4 2 2 x y z + = 与平面 y = 4 的交线在 x = 2 处的切线与 x 轴正向所成角为_。 19．曲面 2 2 z = 2x + 3y 在点（ 2 1 ， 2 1 ， 5 4 ）处的切平面_。 20． M（1，-1，2）为曲面 z = f (x, y) 上的一点， (1, 1) 2 x f  − = ， (1, 1) 2 y f  − = − ，则曲面在点 M 处的切 平面方程为 ． 二、单选题 1．设      + = +  = + 0 ; 0 ; 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在点（0，0）处（ ） A．连续，偏导数存在 B．连续，偏导数不存在

高等数学—一第九章多元微分 C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在 5.空间曲线r2+少2+=6 在点M(1,一2,1)处的切线一定平行于（) x+y+:=0 A.xoy面B.yoz面 C.x0z面 D.平面X+V+Z=0 6。设函数：=3”，则空等于( ) A.3 B.3h3 C.x39-1 D.y3n3 8.设：=y，则-（ ) A. B.y'Iny c D.y'ny 9设x川=1+3，则 ,=( ) c 0设=m+,则骑( ) A.2a2cos2(ar+by)） B.2abcos2(ax+by) C.2b2 cos2(ax+by) D.2absin 2(ax+bv) 12.函数fx,y)在点(x)偏导数存在是fx,y)在该点连续的( A.充分但不是必要条件 B.必要但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也非必要条件 13.二元函数：=fx,y)在(x0%)处满足关系( A.可微←偏导数存在→连续B.可微一偏导数存在→连续 C.可微一偏导数存在，或可微→连续，但偏导数存在不一定连续 D.偏导数存在连续，但偏导数存在不一定可微 =() A巴+t-f化B=代+A型 C.mf+A月-) Ax D. △r Ar 15.:=fx,y)在(0，)取得极大值，那么在(xo,)点有( A.=f=0 B.faf”-f2>0,且fa<0 C.f(x,y)在yo取得极大值 D.前面结论可能都不对 [x=asin't 16.空间曲线y=bsn1c0s1在1-号处的法平面（） (==ccos21 A.平行于z轴B.平行于y轴C.平行于xoy面D.垂直于yoz面 17.记f.(xo%)=A,∫n(xo)=B，,∫(x)=C。那么当fx,)在驻点处满足() 时，f(x,y)在该点取得极大值。 A.B2-AC>0,A>0 B.B2-AC>0,A<0 1以.知形食长分，它其-边转高形外转当此转体的体积为最大时矩形 C.B- AC0,A<0 名

高等数学-第九章 多元微分 44 C．不连续，偏导数存在 D．不连续，偏导数不存在 5．空间曲线    + + = + + = 0 6 2 2 2 x y z x y z 在点 M（1，—2，1）处的切线一定平行于（ ） A．xoy 面 B．yoz 面 C．xoz 面 D．平面 x+y+z=0 6．设函数 xy z = 3 ，则 x z   等于（ ） A． xy y3 B．3 ln 3 xy C． 1 3 xy− xy D． 3 ln 3 xy y 8．设 x z = y ，则 z x  =  （ ） A． x−1 xy B． y y x ln C． 1 1 1 + + x y x D． y y x ln 1 9．设 )] 2 ( , ) ln[ (1 y f x y = x + ，则 =   = = 1 1 y y x f （ ） A． 3 2 − B． 3 2 C． 2 3 − D． 2 3 10．设 sin ( ) 2 z = ax + by ，则 =    x y z 2 （ ） A． 2 cos 2( ) 2 a ax + by B． 2abcos 2(ax + by) C． 2 cos 2( ) 2 b ax + by D． 2absin 2(ax + by) 12．函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 偏导数存在是 f (x, y) 在该点连续的（ ） A．充分但不是必要条件 B．必要但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也非必要条件 13．二元函数 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处满足关系（ ） A．可微  偏导数存在→连续 B．可微→偏导数存在→连续 C．可微→偏导数存在，或可微→连续，但偏导数存在不一定连续 D．偏导数存在  连续，但偏导数存在不一定可微 14．设 z = f (x, y) ，则 ( , ) 0 0 x y x z   =（ ） A． x f x x y y f x y x  +  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 B． x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 C． x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 D． x f x x y x  +   → ( , ) lim 0 0 0 15． z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 取得极大值，那么在 ( , ) 0 0 x y 点有（ ） A． f x  = f y  = 0 B． 2 xx yy xy f  f  − f  ＞0，且 xx f  ＜0 C． ( , ) 0 f x y 在 y0 取得极大值 D．前面结论可能都不对 16．空间曲线      = = = z c t y b t t x a t 2 2 cos sin cos sin 在 4  t = 处的法平面（ ） A．平行于 z 轴 B．平行于 y 轴 C．平行于 xoy 面 D．垂直于 yoz 面 17．记 f xx (x0 , y0 ) = A， f xy (x0 , y0 ) = B ， f yy (x0 , y0 ) = C 。那么当 f (x, y) 在驻点处满足（ ） 时， f (x, y) 在该点取得极大值。 A．B 2—AC＞0，A＞0 B．B 2—AC＞0，A＜0 C．B 2—AC＜0，A＞0 D．B 2—AC＜0，A＜0 19．已知矩形周长为 2P，将 它绕其一边旋转而形成一个旋转体，当此旋转体的体积为最大时，矩形

高等数学—一第九章多元微分 两边的长分别为( 20.函数1=32+2xy-1在点M(3,2)处沿与x轴正向成，倾角的方向导数等于一 A60W3+45 B.60+453C.-60W5+45D.-60-45V5 三、计算与解答题 1.求二元函数极限： (1) 9 In(1++y 3设u=子康岩帝血 4矿+水 心如器器 0': 7已知：=n于=，y=户，求密

高等数学-第九章 多元微分 45 两边的长分别为（ ） A． 3 P ， 3 2P B． 2 P ， 2 P C． 4 P ， 4 3P D． 5 2P ， 5 3P 20．函数 u = 3xy + 2x y −1 2 3 在点 M(3,2 ) 处沿与 x 轴正向成  3 倾角的方向导数等于 ． A. 60 3 + 45 B. 60 + 45 3 C. −60 3 +45 D. − 60 − 45 3 三、计算与解答题 1．求二元函数极限： （1） ( , ) (0,0) 4 2 lim x y xy → xy + − （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 cos( ) lim ( ) x y x y x y x y e → − + + （3） ( ) 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ln 1 lim x y x y x y → + + + 2．设二元函数 tan( ) 2 z = xy ，求 x z   ， y z   3．设 y x u = arctan ，求 x u   ， y u   ， du 4．设 z xy x y 2 3 = + ，求 x y z    2 5．设 z xe y x = sin ，求 x y z    2 ， y x z    2 6．设函数 z = f (x, y) 由方程 − ln = 0 y z z x 所确定，求 y z y x z z   −   7．已知 y x z = sin ， t x = e ， 2 y = t ，求 dt dz

高等数学——第九章多元微分 又设酒数：=化)由方程+-=0确定，求袋导 10.设：=(x,)由方程+x2+:=0所确定，求止 11,求下列函数的二阶偏导数： (1)=ylhs (2)2=l(x2+xy+y2) 12.求下列函数的极值与极值点： (1)f(x,y)=x3+y3-9xy+27 1皮设通数：=功面方程+号学-0老，水会等 4.设sn:-g=a,求 、a2z 造 个无盖长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36 个容积最大的容器，求其尺寸

高等数学-第九章 多元微分 46 8．设 z = f (u,v) 而 u x y 2 = ， x y v = ，其中 f (u,v) 可微，求 x z   ， y z   9．设函数 z = z(x, y) 由方程 0 2 3 2 x + y − xyz = 确定，求 x z   ， y z   10．设 z = z(x, y) 由方程 0 2 yz + x + z = 所确定，求 dz 11．求下列函数的二阶偏导数： （1） x z y ln = （2） ln( ) 2 2 z = x + xy + y 12．求下列函数的极值与极值点： （1） ( , ) 9 27 3 3 f x y = x + y − xy + 13．设函数 z = z(x, y) 由方程 ( + , + ) = 0 x z y y z F x 确定，求 x z   ， y z   14．设 sin z − xyz = a ，求 x y z    2 四、应用题 1．欲做一个无盖长方体容器，已知底部造价为每平方米 3 元，侧面造价为每平方米 1 元，现想用 36 元造一个容积最大的容器，求其尺寸

高等数学——第九章多元微分 2.利用多元函数求极值的方法，求点PO,-1)到直线 y+2=0 +2:=7的距离。 4,求函数：=+y-3在条件x-y+1=0下极值。（提示：利用拉格日乘数法求出可能极值点再 用二元函数极值的充分条件加以判断也可化为无条件极值求解。》 五、证明题： 1.设：=(x,y)是由方程F(x+mz,y+)=0所确定，其中m,n为常数，F(u)为可微函数。 =-1

高等数学-第九章 多元微分 47 2．利用多元函数求极值的方法，求点 P(0,−1,1) 到直线 y x z + = + =    2 0 2 7 的距离． 4．求函数 3 2 2 z = x + y − 在条件 x − y +1 = 0 下极值。（提示：利用拉格日乘数法求出可能极值点再 用二元函数极值的充分条件加以判断也可化为无条件极值求解。） 五、证明题： 1．设 z = z(x, y) 是由方程 F(x + mz, y + nz) = 0 所确定，其中 m ，n 为常数， F(u.v) 为可微函数。 证明： = −1   +   y z n x z m 2．设 ( ) 3 2 xy x y z = + ，其中  有连续偏导数，验证： 0 2 2 + =   −   y y z xy x z x 3．试证： 0 0 ln(1 ) lim x tan y y → x y → + + 不存在