《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数

说明：（1）函数f(的导数形式%=%+i%f'(z)=%+iaxOudu=%-1%1-axOy（2）C-R条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件

说明: （1）函数 的导数形式： ( ) u v v v x x y x u u v u x y y y f z i i i i                  = + = + = − = − （2）C-R条件是复变函数可导的必要条 件 而非充分条件. f (z)

xyx2+y+0x?+y例2 取u(x,y)=v(x,y) =0x?+ y2=0令f(z)=u(x, y)+iv(x,y),则u(x, y),v(x,y)在点(0,0)满足C-R方程：=0ou=0axdyOxay但u(x,y)v(x,y)在点(0,0)不连续，所以复变函数f(z)在z=0不连续,从而f(z)在z =0不可导

    + = +  = = + 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 x y x y u( x, y ) v( x, y ) x y x y 例 取 方程： 令 ， 则 在 点 满 足 C R f z u x y i v x y u x y v x y − ( ) = ( , ) + ( , ) ( , ), ( , ) (0,0) 0 0 u v u v x y y x         = = = − = f (z ) z , f (z ) z . u( x, y ) v( x, y ) ( , ) 函 数 在 不连续 从 而 在 不可导 但 、 在 点 不连续，所以复变 0 0 0 0 = =

柯西资料Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,FranceDied:23May1857inSceaux(nearParis),France18

18 Augustin-Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France 柯西资料

黎曼资料RiemannBorn:17Sept 1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)Died:20July1866inSelasca,Italy19

19 Riemann 黎曼资料 Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy

定理2.2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)区域D内解析的充分必要条件是(1)u(x,y)和v(x,y)在区域D内处处可微;(②)u(x,y)和v(x,y)在区域D内满足C-R方程du-vOvau-axQyaxay

（1）u(x, y)和v(x, y)在区域D内处处可微； （2）u( x, y )和v( x, y )在区域D内满足C − R方程： x v y u y v x u         = = − . 解析的充分必要条件是 定理2.2 函数 f (z) = u(x, y) + i v(x, y)区域D内