（3）反函数求导法则设函数w=f(z)在区域D内解析：且f'(z)±0,又反函数z=f-(w)=Φ(w)存在且为连续则有：11p'(w) =f'(z)f'(q(w)@(w)
（3）反函数求导法则 且 ，又反函数 设函数 在区域 内解析， 0 = f'( z ) w f ( z ) D '( ( )) 1 '( ) 1 '( ) ( ) f z f w w z w = = = 则有： z = f −1 ( w ) = ( w )存在且为连续
三、函数解析的一个充分必要条件定理2.1设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义,那么f(z)在点z=x+iyED可微的必要与充分条件是(l) u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微,(2)u(x,y)和v(x,y)在点(x,J)处满足柯西-黎曼方程（简称C一R方程）：Ou=yQuOvax=ayaxy
三、函数解析的一个充分必要条件 (1) u(x, y)和v(x, y)在点(x, y)处可微， 程（简称 方程）： 和 在点 处满足柯西 黎曼方 C R u x y v x y x y − (2) ( , ) ( , ) ( , ) - x v y u y v x u = = − 那么 在点 可微的必要与充分条件是 设函数 在区域 内有定义， f z z x iy D f z u x y iv x y D = + = + ( ) ( ) ( , ) ( , ) 定理2.1
证明（必要性）设f(z)在z=x+iy处可导，记作'(z)=a+ib则有f(z + z)- f (z) =(a+ib)△z + o(I △z D= (a + ib)(x + i\y) + o( △z D其中f(z+△z)-f(z)=u+v，按实部和虚部整理得：
证明（必要性） 则 有 设f (z)在z = x + i y处可导，记作f '(z) = a + i b， ( )( ) (| |) ( ) ( ) ( ) (| |) a i b x i y o z f z z f z a i b z o z = + + + + − = + + 和虚部整理得： 其 中f (z + z )− f (z ) = u + iv，按实部
u(x + 4x, y+ 4y)-u(x, y) = aZx - b4y+ o( △z D;v(x + 4x, y+ 4y)-v(x, y) = b4x + a4y +o(l △z D因此，u(x,y)及v(x,y)在(x,y)处可微,并有C-R方程成立：Qu= yO-b= Qu =a=axayaxOy1（充分性）设u(x,y)及v(x,y)在(x,y)处可微，并有C-R方程成立，则有
并 有 方程成立： 因此， 及 在 处可微， C R u( x, y ) v( x, y ) ( x, y ) − -b= u v u v x y y x a = = = − u(x + x, y + y) − u(x, y) = ax − by + o(| z |)； v(x + x, y + y) − v(x, y) = bx + ay + o(| z |)； （充分性） 程成立，则有 设u( x, y )及v( x, y )在( x, y )处可微，并有C − R方
Au = u', (x, y)Ax +u, (x, y)Ay+o(l Az D);4v =y, (x, y)4x +v, (x, y)4y+o(l 4z D)由C-R方程可得：Aw=△u+iy[u,(x, y)+iv, (x, y)l(4x +iy)+o(l 4z D)m= (,)+ (,)=a+b所以即f(z)在z=x+iy处可导。QuOv且f(z) :(x,yaxax
( , ) ( , ) (| |) x y u u x y x u x y y o z = + + ； ( , ) ( , ) (| |) x y v v x y x v x y y o z = + + ； 由C − R方程可得: [ ( , ) ( , )]( ) (| |) x x w u i v u x y iv x y x i y o z = + = + + + 所以 0 lim ( , ) ( , ) w z x x z u x y iv x y a ib → = + = + ( x y ) ( x y ) x v i x u f z f z z x i y , , ( ) ( ) + = = + 且 即 在 处可导。