●●●● ●●● ●●●● ●●●● 又比如,E如图 ●● E O X 若E不包含边界,则E为开集 若E包含边界,则E不是开集
x y o E 又比如, E 如图 若 E 不包含边界, 则 E 为开集. 若 E 包含边界, 则 E 不是开集
●●● ●●●●● ●●● 三论非空平面点集E为开集的充要 条件是E中每一点都不是E的边星点,即 E不含有E的边界点 证:必要性.设E为开集,VX∈E 由开集定义知X为E的内点 故X不是E的边界点
结论:非空平面点集 E 为开集的充要 条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点. 证: 必要性. 设 E 为开集, X E, 由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点
●●●● ●●● ●●●● 充分性若E中每一点都不是E的边界点8 要证E为开集.VX∈E,由于X不是E的边界点 故必存在x的一个邻域U(X,δ)在这个邻域U(X,δ) 内或者全是E中的点或者全都不是E中的点,两 者必居其一.由于X∈E,故后一情形不会发生 因此,U(X,δ肭内必全是E中的点故X∈E0,即 EcE0,所以E是开集
充分性. 若 E 中每一点都不是 E 的边界点. 要证 E 为开集. X E, 由于 X 不是 E 的边界点. 故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X, ) 内或者全是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两 者必居其一. 由于X E, 故后一情形不会发生. 因此, U(X, )内必全是 E 中的点. 故 X E0 , 即, E E0 , 所以 E 是开集
●●●● ●●● 5.连通集 ●●●● ●●● ●● 设E是一非空平面点集,若X,Y∈E.都 可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称 E为连通集.如图 √^Y Y E连通 E不连通
5. 连通集 设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图 X Y E 连通 Y X E 不连通
●●●● 从几何上看,所谓E是连通集是指E是 ●● 连成一片的.E中的点都可用折线连接 例1,2中的D都是连通集.如图 x+y=0 x2+
从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接. 例1, 2中的 D 都是连通集. 如图 x + y = 0 x y o x y o 1 1 x 2 + y 2 = 1