向题:对于给定的单参数曲线族: d(x,y,c)=0 其c∈是参数 如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求? 根据定义,假设该单参数曲线族有包络l,则对任意的 (,y)∈,存在唯的c∈L,使得(x,y)∈l 于是得到对应关系 c: ->I (x,y)}>c(x,y)
问题:对于给定的单参数曲线族: (x, y,c) = 0 其c I是参数. 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的 (x, y)l, 存在唯一的 c I, 使得 ( , ) . c x y l 于是得到对应关系: c : l → I, (x, y) c(x, y)
从而得到二元函数c=c(x,y),(x,y)∈l使得 Φ(x,y2c(x,y)≡0,(x,y)∈l 若L可用参数形式表示为 x=o(t) t∈(o ) 记c=c(qp(t),v()≡c(t),则 d(q(t)2v(t),C(t)≡0,t∈(a,B) 于是, +① +①≡0. dt
从而得到二元函数 c = c(x, y), (x, y) l 使得 (x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l. 若 l 可用参数形式表示为: ( , ) ( ), ( ), = = t y t x t 记 c = c((t),(t)) c(t), 则 ((t),(t), c(t)) 0, t (, ) 于是, + + 0. dt dc dt d dt d x y c
现在l上任取一个固定点M则M在某一条曲线l。上由于 与L在M点有相同的切线,而l与l在M点的切线的斜率 分别为与 所以有 从而 dt y dt 0 dt 由于在l上不同的点也在不同的L上,即≠0,因此 ①≡0
l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 c l 上. 由于 l 与 c l 在M点有相同的切线, 而 l 与 c l 在M点的切线的斜率 分别为 dx dy 与 , y x − 所以, 有 从而 0. dt dc c + 0, dt d dt d x y 由于在 l 上不同的点也在不同的 c l 上, 即 0, dt dc 因此 0. c 现在
因此包络线1任意一点M不仅要满足Φ(x,y,c)=0, 而且还要满足Φ(x,y,c)=0 把联立方程组 d(x,y,c)=0 @.xy,c)=0 中消去参数c得到的方程F(xy)=0所表示的曲线*称为曲线族 C)c∈I 的c-判别曲线
因此, 包络线 l 任意一点M不仅要满足 (x, y,c) = 0, 而且还要满足 (x, y,c) = 0. c 把联立方程组: = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y c x y c c 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l * 称为曲线族 c c I l 的c-判别曲线