§3函数极限存在的条件 (2)若lmf(x2)=A成立,但不一定有limf(x)=limf(x2) 例如:snx ≠0 0x=0 sgn.x 1x<0 对gnx2 limagne2=1而 i limagne不存在, imnf(x)不一定等于limf(x2) S3函数极限存在的条件 1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明 lim cosx 不存在 解imf(x)类型的函数极限的归结原则为:设f(x)在某 U(+∞)有定义,则imf(x)存在的充要条件是:对任何以+∞为极 限的且含于U(+∞)的数列{xn},极限imf(xn)都存在且相等 设xn=2nx,xn=nx+2,xn→+∞,xn→+∞(n→),而 oxn=1,o8x"n=0(n→∞),又∵ lin c≠limx"n,; lim cosx 不存在 2.设∫为定义在[a,+∞)上的递增(减)函数,证明:imnf(x)存 在的充要条件是f在[a,+∞)上有上(下)界 证:必要性由题设linf(x)存在,记为A即limf(x)=A,由 局部有界性定理可得存在U(+∞)=(b,+∞)使f(x)在U(+∞) 上有界即存在M与m,对任给x∈U(+∞),都有 m≤f(x)≤M 又由f(x)在[a,+∞)上递增知:对任给x∈[a,b],有 ∫(x)≤∫(b+1)≤M (2) 由(1)(2)可得,对任一x∈[a,+∞),有f(x)≤M,故f(x)在 [a,+∞)上有上界
第三章函数极限 充分性:设∫(x)在[a,+∞)上有上界,则由确界原理可知f(x) 在a,+∞)上有上确界设A=x用f(x),则对任给正数e,存在 x0∈[a,+∞)又因f(x)在[a,+∞)上递增,从而当x>xo时,有 A-ε<f(x)≤f(x)<A+E 因此,当x>x0时,|f(x)-A|<ε,故limf(x)=A 3.(1)叙述极限inf(x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证 明 lim sinz不存在 解(1)设函数f(x)在U(-∞)内有定义,则imnf(x)存在的 充分必要条件是:对任给的正数e,总存在某一正数M,使对任何 x′<-M,x"<-M,都有lf(x)-f(x")<e (2)设∫为定义在(-∞,a]上的函数若存在正数E,对任给正数M 总存在x1,x2,尽管x1<-M,x2<-M,而|f(x1)-f(x2)|≥E0 则称limf(x)不存在 以下用此定义证明 lim sinx不存在 取 对任给自然数n,取x1=-nπ,x 于是 x1<-n,x2<-n而 I sinx1-snx2|=1>,故 lim sinz不存在 4.设f在U(x0)内有定义证明:若对任何数列{xn}CU(x0) 且 limIn=xo,极限imf(xn)都存在,则所有这些极限都相等 (提示:参见定理3.11充分性的证明) 证明:对任何的数列{xn}CU(xo,d),且 limx=x0,按假设对 任给的c>0,总存在正数δ(<8),使对任何x’,x"∈U(x0,8),有 1f(x")-f(x")<e,由lmxn=x0,对上述δ>0,总存在N>0 当n,m>N时有xn,xm∈U”(x0,)从而有1∫(xn)-f(xm)|<E 于是按数列的柯西收敛准则,数列{f(xn)极限存在,记为A,即