第三章函数极限 (2)原式=10-0-1=1 (31=2211=正x+1=3 (4)lin (x-1)3+(1-3x) 3 +2x3 (5)lim r +I n (6) 1+2x-3=lin2(x+2) 2 1+2x+3 (7)im lin (8)m(3x+6)(35 (8 2.利用迫敛性求极限 (1)lim -CosT (2)lim sinz 解(1)∵-1≤cx≤1 CoST x+1 1 1 )=lim(1+1、=1 由迫敛性定理,imx-cx=1 (2)∵-1≤sinx≤1 x≤xsin≤x ∵x→+∞故x2-4>0 sIne ≤翌 0
82函数极限的性质 由迫敛性∴lm2=0 3.设imf(x)=A,limg(x)=B证明: (1)lin[f(x)±g(x)]=A±B (2)in[g(x)·f(x)]=A·B (3)imnf(x)=合(当B≠0时 证明:对任给正数e,分别存在正数δ1和82,使 当0<1x-x01<B1,有1f(x)-A1<号 当0<1x-x01<82,有1g(x)-B1<号 (1)取8=min{81,2},当0<1x-xo<8时①②同时成立 于是有 (f(x)±g(x))-(A±B)l≤f(x)-A|+g(x)-B|<e 故lim(f(x)±g(x))=A±B (2)由lmg(x)=B知,存在正数83,使g(x)在U(x0,83)上有 界,即存在正数M,对任给x∈U(x0,63),有g(x)≤M③ 取8=min{81,a2,83},当0<1x-x01<8时,①、②、③同时成立, <I g(r)11f(r)-AI+IAl.Ig(x)-B/ M+la 因而f(x)g(x)-AB|=!g(x)(f(x)-A)+A(g(x)-B) 由e的任意性知limf(x)·g(x)=A·B (3)由题知img(x)=B≠0于是imBg(x)=B2>0由局部保 号性有存在4>0,当0<1x-x01<b时,有Bg(x)>B④ 取a=min{81,82,4},当0<1x-x01<8时①②④同时成立 于是有1(x) Bf(r)-Ag(x)
第三章函数极限 ≤LBl(x)A+A4(x)-B≤1AHB 由e的任意性知lmfx}= 4.设(x)=2+a12“十am1俱m,a0≠0, bo≠0,m≤n,试求limf(x) 解∵imf(x) a0+a1 十… 所以,当m=n时,imf(x)=0;当m<n时,limf(x)=0 于是imf(x)=b0,当m=n 0,当m< 5.设f(x)>0,limf(x)=A 证明:limf(x)=A其中n≥2为正整数 证明:∵f(x)>0,故limf(x)=A≥0 ()当A=0时,由limf(x)=0知,对任给正数e,存在正数δ, 当0<1x-x01<8时,有f(x)<e"即yf(x)<e 故lm3f(x)=0 (ⅱ)当A>0时,由lmf(x)=A知,对任给正数e,存在正数8 当0<x-x01<δ时,便有 f(x)-A|<√A7e从而此时|yf(x)-A If(c-al yr1(x)+vAm2(x)+…+√A2f(x)+√A 11f(x)-A1<c A-1
2函数极限的性质 故im√f(x)=A 6.证明ima2=1(0<a<1) 证明:mah=1:对ve>0,3N>0,有0<1-a<e, 由d是递减的当0<x<时有a2>a 0<1-a2<1-a<c取8=当0<x<8时就有 0<I at-1<1-a< e, ap lim a=1 另一方面lmna1=lm1=1由上述方法,得ima2=1 2+0 E li mf(r)=A, ling(x)=B (1)若在某U"(xo)内有f(x)<g(x)问是否必有A<B?为什 久? (2)证明:若A>B,则在U(x0)内有f(x)>g(x) 解(1)不一定,如g(x)=x2,f(x)=0,在x0=0的任一 U(0,8)内,有f(x)<g(x),但lmf(x)=limg(x)=0 (2)A>B∴:=22>0又:加mf(x)=A 存在正数a1,当|x-x01<81时 有(x)-A/A-B∴f(x)>2(1) A+B 又∵limg(x)=B知:对上述e0>0,存在正数82, 当0<1x-x01<82时,有1g(x)-B1<A,B (<AtB (2) 取8=min{81,2},当0<1x-x0<8时,(1)与(2)同时成立
第三章函数极限 即有∫(x)>A+B>g(x),当x∈U(x0,8)时,f(x)>g(x) 8.求下列极限(其中n皆为正整数) (1)lim It.1 (2)im⊥xl.1 (3)i 工+x2+…+x"-n, (提示:参照例1) 1 x+0x +oI 0"1+xn (2)lim 1+x (3)原式=imn[xn-1+2xx2+…+(n-2)x2+( √1+x-1 ya+x)+a+2y2+…+1+2+1 (5)∵对任意实数x,有x-1<[x]≤x,从而当x>0时, 有1-1<1[x]≤1,故m1[x]=1,当x<0时, 有1-1>1[x]≥1,故im [c] 9(1)证明:若lmf(x3)存在,则imf(x)=limf(x3) (2)若limf(x2)存在试问是否成立lm(x)=imf(x2)? 证:(1)∵imf(x3)存在,假设lmf(x3)=A 对e>0,38>0使得当0<1x1<b<时有 f(x3)-A|<e,令t=x3则|t!=1x3<B ∴f(t)-A<e∴limf(x)=A=limf(x3)