第五章相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= X2 ，Y= y2 C=(Ci)mxn Xn yn 可见，线性变换把二次型变为二次型
第五章 相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式: X CY = 1 1 2 2 , ( )ij m n n n x y x y X Y C c x y = = = 其中 ， 可见，线性变换把二次型变为二次型
第五章相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 取aH=ag则2ax,x影=x,x,+4xx,(i<j) 于是f=a1x+a2X,x2++4nXxm +a212X1+a22号+.+42nK2Xn +.+0nxnX1+an2xn2+.+anmx =1(a11X1+12x2++41mXn) +x2(a21X1+422X2+.+a2mXn) +.+Xn(am1X1+an2X2+.+amxn）
第五章 相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + 2 ( ) ji ij ij i j ij i j ji j i 取a a a x x a x x a x x i j = = + ，则 于是
第五章相似矩阵与二次型 411X1+412X2+.+41mXn =[X13X2,.,xn] 021X1+2X2++02nXm niX1+an2X2+.+AnnXn」 1 12 21 a2 =[1,2.,xn a2n 七2
第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x + + + + + + = + + +
第五章相似矩阵与二次型 X1 记 A= L21 a2 X= X2 (n2 nn 则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵.二次型与对称矩阵是一一对应. 例如，二次型f=x2-3x2-4x,x3+x的矩阵为 「10 0 A= 0 -3 -2 0 -2 1
第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x = = 记 则二次型可记作 , . f X AX A = 其中 称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵. 二次型与对称矩阵是一一对应. 2 2 2 1 2 2 3 3 例如，二次型f x x x x x = − − + 3 4 的矩阵为 1 0 0 032 0 2 1 A = − − −
第五章相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系， 设二次型f=XAX,作可逆线性变换X=CY f=X'AX=(CY)A(CY) -Y'(C'AC)Y=YBY 其中B=CAC B'=(C'AC)=C'A(C)=B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵
第五章 相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f X AX X CY = = ，作可逆线性变换 f X AX CY A CY = = ( ) ( ) = = Y C AC Y Y BY ( ) 其中B C AC = B C AC C A C B = = = ( ) ( ) 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵