《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列）秩、秩 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、k阶子式 四、小结

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 二、 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、 k阶子式 四、 小结

第二章矩阵与向量 一、矩阵的行（列秩、秩 定义2.4.1设m×n矩阵A,称A的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩 101 例1求矩阵A= 012的行秩和列秩 214 解：A的行向量1=(1,0,1)，a2=(0,1,2),a3=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a,2,a,线性相关， 214

第二章 矩阵与向量 定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩、秩 1 0 1 1 0 1 2 . 2 1 4 A     =       例 求矩阵 的行秩和列秩 1 2 3 A的行向量   = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组   线性相关， 解：

第二章矩阵与向量 又c,线性无关，故a,a,是4的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵4的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1131 例2求矩阵A= 02 -14的行秩和列秩 0005 解：4的行向量，=(1,1,3,1)，2=(0,2，-1,4)， a3=(0,0,0,5) 去掉第三个分量的a=(1,1,1),2=(0,2,4), 3=(0,0,5)

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 , , 2. A A 又    线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A    = = − = 的行向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A     = −       例 求矩阵 的行秩和列秩 解： 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5).      = =  = 去掉第三个分量的

第二章矩阵与向量 111 由行列式02 4=10≠0， 知向量组a,a,线性无关. 00 5 由S2.3例5知，向量组a,a2,也线性无关， 所以A的行秩为3. 4的列向量组B, = 0 B 4个三维向量必线性相关，而其中BB,线性无关

第二章 矩阵与向量 1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 =  ，知向量组     线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组   也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                     = = = − =                         的列向量组 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β3线性无关

第二章矩阵与向量 因为 1 0 2 0 =10≠0 4 5 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的。 为了证明这一点，我们有以下两个定理。 定理2.4.1初等行（列变换不改变矩阵的行（列）秩 定理2.4.2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间 的线性关系

第二章 矩阵与向量 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 =  因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间 的线性关系