《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 定义5.2.2设A,B是两个阶方阵，如果存在一个可逆 矩阵C,使得B=CAC,则称A和B是合同的， 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次 型的矩阵合同 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的秩

第五章 相似矩阵与二次型 5.2. , . 2 A B n C B C AC A B =  设 是两个 阶方阵，如果存在一个可逆 矩阵 ，使得 ，则称 和 定 是合同的 义 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次 型的矩阵合同. 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的秩

第五章相似矩阵与二次型 三、二次型的标准形 只含有平方项的二次型 f=Jy+2y经+.+九Jy房 称为二次型的标准型. 说明：1标准二次型的矩阵是对角矩阵 22 2.要使二次型f经可逆变换x=C变成标准形， 就是要使y'CAC=+2J3+.+Jy 也就是要使C'AC成为对角矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 1 2 2 . n n f y y y = + + +    只含有平方项的二次型 称为二次型的标准型 三、二次型的标准形 2 2 2 1 1 2 2 2 , . n n . f x Cy y C ACy y y y C AC    =   = + + +  要使二次型 经可逆变换 变成标准形 就是要使 也就是要使 成为对角矩阵 1 2 1 ; n .                说明： 标准二次型的矩阵是对角矩阵

第五章相似矩阵与二次型 由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP=△，即P'AP=△.因此任意一个实二次型 都可以化为标准形 1.用正交变换化二次型为标准形 定义5.3.3如果线性变换X=CY的系数矩阵C=(cn×m 是正交矩阵，则称它为正交线性变换，简称正交变换. 显然正交变换是可逆的

第五章 相似矩阵与二次型 1 , , , . A P P AP P AP − =  =   由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 使 即 因此任意一个实二次型 都可以化为标准形. 1.用正交变换化二次型为标准形 定义5.3.3 如果线性变换X=CY的系数矩阵C=(cij)n×n 是正交矩阵，则称它为正交线性变换，简称正交变换. 显然正交变换是可逆的

第五章相似矩阵与二次型 定理5.5.1任给实二次型f=XAX(A'=A),总有 正交变换X=PY,使f化为标准形 f=九听+2+.+九Jy房 其中2,22，.，2是矩阵4的特征值. 例1求正交变换X=PY,把二次型 f=4x+3x2+2x2x,+3x化为标准形 400 解：)二次型的矩阵为：A= 031 0 13

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 1 2 2 1 2 5 ( ) , , . .5.1 n n n f X AX A A X PY f f y y y A       = =   = = + + + 任给实二次型 ，总有 正交变换 ，使 化为标准形 其中 ， 是矩阵 定 的特征值 理 2 2 2 1 2 2 3 3 1 4 3 2 3 . X PY f x x x x x = = + + + 例 求正交变换 ，把二次型 化为标准形 解:(1)二次型的矩阵为： 4 0 0 0 3 1 0 1 3 A     =      