有逆：如hg=gh，则h-1hg=g=h-1gh，进而gh-1=h-1g，h-1也属于这个集合。两个结合，所有与g互易的元素形成群G的一个子群，记为Hg。第二步，根据拉格朗日定理，我们可以把群G按照Hg的陪集，分割为(goHg、81Hg、g2Hg、。这里取go为G中单位元素。现在我们要证明的是每个陪集中元素gihα，在ha取遍Hg中所有元素，也就是gihac取遍这个陪集中所有元素的时候，gihαg(giha）-1给出同一个g类中元素giggi1，且不同陪集给出的类中元素不同。这个证明是两个方面：1）同一陪集同一元素，对陪集中任意元素gihα，做gihαg(giha）-1，由于ha于9互易，结果都是gi8gi1。2）不同陪集不同元素，giHg与g;Hg两个陪集，给出元素为gi8gi1与gj88j1。如ggg=8j8，则有ggig=gg，进而ggig=g8g，这也就是说gi'g;属于Hg。这样，由重排定理知道Hg=gi"giHg，进而giHg=gjHg，与已知它们为两个不同陪集矛盾。因此，不同陪集做共轭操作给出不同类中元素。第三步，G中有n个元素，Hg阶为m，我们按Hg做陪集分解会有n/m个子群与陪集。每个陪集给出一个（相互不同的）g的同类元素，一共是n/m个。这也就是说g 的类中元素个数为 n/m。n/m 显然是n 的因子。现在我们再来回味一下之前说的两句话，1）一个群的单位元素自成一类，2）Abel群中每个元素自成一类。对于这两种情况，上面证明中用到的Hg就是群G本身，所以m=n，n/m=1。这个类中只有一个元素。上面说的共轭、类的概念的对象都是元素。在《子群和陪集》那一节，我们4
14 有逆：如hg = gh，则h −1hg = g = h −1gh，进而gh −1 = h −1g，h −1也属于这个集 合。 两个结合，所有与 g 互易的元素形成群 G 的一个子群，记为Hg。 第二步，根据拉格朗日定理，我们可以把群 G 按照Hg的陪集，分割为{g0Hg、g1Hg、 g2Hg、.}。这里取g0为 G 中单位元素。 现在我们要证明的是每个陪集中元素gihα，在hα取遍Hg中所有元素，也就是gihα 取遍这个陪集中所有元素的时候，gihαg(gihα ) −1给出同一个 g 类中元素giggi −1， 且不同陪集给出的类中元素不同。 这个证明是两个方面： 1) 同一陪集同一元素，对陪集中任意元素gihα，做gihαg(gihα ) −1，由于hα于 g 互易，结果都是giggi −1。 2) 不同陪集不同元素，giHg与gjHg两个陪集，给出元素为giggi −1与gjggj −1。如 giggi −1 = gjggj −1，则有gj −1 giggi −1 = ggj −1，进而gj −1 gig = ggj −1 gi，这也就是说 gj −1 gi属于Hg。这样，由重排定理知道Hg=gj −1 giHg，进而giHg = gjHg，与已知 它们为两个不同陪集矛盾。因此，不同陪集做共轭操作给出不同类中元素。 第三步，G 中有 n 个元素，Hg阶为 m，我们按Hg做陪集分解会有 n/m 个子群与 陪集。每个陪集给出一个（相互不同的）g 的同类元素，一共是 n/m 个。这也就 是说 g 的类中元素个数为 n/m。n/m 显然是 n 的因子。 现在我们再来回味一下之前说的两句话，1) 一个群的单位元素自成一类， 2) Abel 群中每个元素自成一类。对于这两种情况，上面证明中用到的Hg就是群 G 本身，所以 m=n，n/m=1。这个类中只有一个元素。 上面说的共轭、类的概念的对象都是元素。在《子群和陪集》那一节，我们
知道群中我们研究的对象除了元素，还有子群。因此，做个类比，上面提到的群元素共轭的概念原则上也可以推广到子群之间。定义1.9共轭子群：设H和K是群G的两个子群，若存在g属于G，使得K=gHg-1={ghg-1hEH)。这时，称H和K是共轭子群。由这个定义，我们知道：1）两个共轭的子群里面必有同类的元素；2）与元素共轭的传递性类似，子群共轭也有传递性。同时，与群元可以按类进行划分一样，（(e)、(g1、g2)、（g3、g4、gs)、），群的子群也可以按共轭子群类来进行划分。比如，上例中，(e)自成一个共轭子群类，(e、gi]、(e，g2)是一个共轭子群类，等等。这些概念比较繁琐，有些教材中会提到，但后面用到的地方不多，我们这里稍微提一下。在类和子群的概念的结合中并不繁琐，同时我们以后也非常多用到的一个概念是不变子群，我们重点讲解。定义1.10设H是G的子群，如果H中所有元素的同类元素都属于H，则称H是G的不变子群（数学上一般称为正规子群)。不变子群是一种特殊的子群，它有一个非常重要的性质。定理1.5设H是G的不变子群，那么对任意固定的f属于G，当ha取遍H中所有元素的时候，fhαf-1给出且仅仅一次给出H中所有元素。（这里对f的要求是f是任意一个属于G的固定元素即可，没要求它一定不属于H。f定了，fhaf-1就一对一得给出H中所有元素。)证明：（两步）第一步，对任意hp属于H，都可以由fhaf-1给出。这个很简单，因为 H是不变子群，所以取hα=f-1hgf，则fhaf-1就给出hg，而这个hα=f-1hgf，属于H的。第二步，属于H的不同的hα、hg，fhaf-1与fhgf-1不同。这个也很显然，因为如
知道群中我们研究的对象除了元素，还有子群。因此，做个类比，上面提到的群 元素共轭的概念原则上也可以推广到子群之间。 定义 1.9 共轭子群：设 H 和 K 是群 G 的两个子群，若存在 g 属于 G，使得𝐊 = 𝐠𝐇𝐠 −𝟏 = {𝐠𝐡𝐠 −𝟏 |𝐡 ∈ 𝐇}。这时，称 H 和 K 是共轭子群。 由这个定义，我们知道：1) 两个共轭的子群里面必有同类的元素；2) 与元 素共轭的传递性类似，子群共轭也有传递性。同时，与群元可以按类进行划分一 样，{{e}、{g1、g2}、{g3、g4、g5}、.}，群的子群也可以按共轭子群类来进行 划分。比如，上例中，{e}自成一个共轭子群类，{e、g1}、{e，g2}是一个共轭子 群类，等等。这些概念比较繁琐，有些教材中会提到，但后面用到的地方不多， 我们这里稍微提一下。在类和子群的概念的结合中并不繁琐，同时我们以后也非 常多用到的一个概念是不变子群，我们重点讲解。 定义 1.10 设 H 是 G 的子群，如果 H 中所有元素的同类元素都属于 H，则称 H 是 G 的不变子群（数学上一般称为正规子群）。 不变子群是一种特殊的子群，它有一个非常重要的性质。 定理 1.5 设 H 是 G 的不变子群，那么对任意固定的 f 属于 G，当hα取遍 H 中所 有元素的时候，fhαf −1给出且仅仅一次给出 H 中所有元素。 （这里对 f 的要求是 f 是任意一个属于 G 的固定元素即可，没要求它一定不属于 H。f 定了，fhαf −1就一对一得给出 H 中所有元素。） 证明：（两步） 第一步，对任意hβ属于 H，都可以由fhαf −1给出。这个很简单，因为 H 是不变子 群，所以取hα = f −1hβf，则fhαf −1就给出hβ，而这个hα = f −1hβf，属于 H 的。 第二步，属于 H 的不同的hα、hβ，fhαf −1与fhβf −1不同。这个也很显然，因为如
果fhαf-1与fhpf-1相同，则hα、hg相同，与假设矛盾(证毕)说了半天道理，现在看几个例子。例9．以加法为群的乘法，之前说过，有整数群，有实数群。我们也说过整数群是实数群的子群，现在看它是不是实数群的不变子群。标准只有一个，就是看子群的同类元素是否属于这个子群？n，它的共轭元素是a+n-a=n本身，属于整数群，所以是不变子群。实际上，所有Abel群的子群都是其不变子群。因为每个元素自成一类，其同类元素自然在这个子群中。关于不变子群，还有一个很重要的性质，定理1.6不变子群的左陪集与右陪集是重合的。证明：利用定理1.5，说的是fHf=H，那么fH=Hf（证毕)。这样的话对于不变子群，我们在说陪集的时候，就不用说左陪集或右陪集，直接说陪集就可以了。除了上面那个性质，不变子群的陪集还有另外一个更加重要的性质，就是两个（非子群的）不同陪集中元素的乘积，必为第三个陪集中的元素。这个说的是什么呢？就是H是G的不变子群,由H,可将G分解为G=(goH、g1H、g2H、。这样的话在这一系列的陪集中，取giH与gjH这两个陪集中的元素gihα与g;hp相乘，结果是这样的：当g;H与g;H都不是goH时，必属于g;H与g;H外的另一个陪集；当g;H、g;H其中一个是goH时，必属于g;H与g;H中的另一个；g;H与g;H都是goH时，必属于goH。15
16 果fhαf −1与fhβf −1相同，则hα、hβ相同，与假设矛盾。 （证毕） 说了半天道理，现在看几个例子。 例9. 以加法为群的乘法，之前说过，有整数群，有实数群。我们也说过整数群 是实数群的子群，现在看它是不是实数群的不变子群。 标准只有一个，就是看子群的同类元素是否属于这个子群？n，它的共轭 元素是 a+n-a=n 本身，属于整数群，所以是不变子群。 实际上，所有 Abel 群的子群都是其不变子群。因为每个元素自成一类， 其同类元素自然在这个子群中。 关于不变子群，还有一个很重要的性质。 定理 1.6 不变子群的左陪集与右陪集是重合的。 证明： 利用定理 1.5，说的是 fHf-1=H，那么 fH=Hf（证毕）。 这样的话对于不变子群，我们在说陪集的时候，就不用说左陪集或右陪集， 直接说陪集就可以了。除了上面那个性质，不变子群的陪集还有另外一个更加重 要的性质，就是两个（非子群的）不同陪集中元素的乘积，必为第三个陪集中的 元素。 这个说的是什么呢？就是H是G的不变子群，由H，可将G分解为G={g0H、 g1H、g2H、.}。这样的话在这一系列的陪集中，取giH与gjH这两个陪集中的元 素gihα与gjhβ相乘，结果是这样的：当giH与gjH都不是g0H时，必属于giH与gjH外 的另一个陪集；当giH、gjH其中一个是g0H时，必属于giH与gjH中的另一个；giH 与gjH都是g0H时，必属于g0H
这里后两种情况很明显，第一种情况需要证一下。证明：(反证法gihaghg=gigjgjhagjhg=gigjha,hg，我们把gig;H这个陪集记作gkH。现在设gkH=giH，这个会导致gigjhahβ=gihy，进而gj=hyhg"hal。再由H是子群，得g;属于H，这样就与已知g;不属于H矛盾了。同理，如果gkH=gjH，就会有gigjhαhg=gihαgjhg=gjhy。这样的话，就有gihagjhpgj‘gj=gjhy，进而gihahg,g;=gjhy，进而gihahg,=gjhygj1=hy，进而g属于H了，同样与已知矛盾。(证毕)这样的话，根据上面提到的三种情况的性质，我们可以定义一个基于不变子群的商群。定义1.11商群：设群G有不变子群H，由H将G分为goH、giH、g2H、….g.H、.小，把其中每个陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘得到另一陪集中的元素，定义新的元素乘法，即：陪集串新元素fogoHfi1giHf2g2H:：fig;H..乘法规则对应关系：f = fkgihagjhp = gkhy这样得到的群(fo、f1、……、fi、…)称为G对其不变子群H的商群，记为G/H
这里后两种情况很明显，第一种情况需要证一下。 证明：（反证法） gihαgjhβ = gigjgj −1hαgjhβ = gigjhα′hβ，我们把gigjH 这个陪集记作gkH。 现在设gkH =giH，这个会导致gigjhα′hβ = gihγ，进而gj = hγhβ −1hα′ −1。再由 H 是 子群，得gj属于 H，这样就与已知gj不属于 H 矛盾了。 同理，如果gkH =gjH，就会有gigjhα′hβ = gihαgjhβ = gjhγ。这样的话，就有 gihαgjhβgj −1 gj = gjhγ，进而gihαhβ′gj = gjhγ，进而gihαhβ′ = gjhγgj −1=hγ′，进而 gi属于 H 了，同样与已知矛盾。 （证毕） 这样的话，根据上面提到的三种情况的性质，我们可以定义一个基于不变子 群的商群。 定义 1.11 商群：设群 G 有不变子群 H，由 H 将 G 分为{𝐠𝟎𝐇、𝐠𝟏𝐇、𝐠𝟐𝐇、.、 𝐠𝐢𝐇、.}，把其中每个陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘得到另 一陪集中的元素，定义新的元素乘法，即： 陪集串 新元素 𝐠𝟎𝐇 𝐟𝟎 𝐠𝟏𝐇 𝐟𝟏 𝐠𝟐𝐇 𝐟𝟐 ⋮ ⋮ 𝐠𝐢𝐇 𝐟𝐢 ⋮. ⋮ 乘法规则对应关系： 𝐠𝐢𝐡𝛂𝐠𝐣𝐡𝛃 = 𝐠𝐤𝐡𝛄 𝐟𝐢𝐟𝐣 = 𝐟𝐤 这样得到的群{𝐟𝟎、𝐟𝟏、.、𝐟𝐢、.}称为 G 对其不变子群 H 的商群，记为 G/H
说白了，就是把每个陪集当成一个新的元素，形成的新的结构。在导言的时候，我们说过群论研究的是集合的结构特征及其生成规律，这里的不变子群与其商群，就是群结构特征的一个典型的例子。我们可以把商群当成是群本身，以不变子群及其陪集为基本单元的一种超结构。关于这些概念，我们还是通过一个例子来作具体的理解。例10.D:群，它的元素是(e、d、f、a、b、c)，乘法表见前面的表1，借助乘法表，先看它的分类情况。任何群，(e)自成一类。对D3群而言，a-1=a、b-1 = b、c-1 = c、d-1 = f、f-1 = d.对a,其同类元素有:d-1ad=fad=fb=c、f-1af=daf =dc=b、a-1aa=a、b-1ab =bab=bd= c、c-1ac= cac=cf=b、。因此,a 的同类元素有b、c。它们的阶都是2，也形成一个类。同理，d的同类元素是f，它们阶都是3，形成一个类。D群有三个类。之前我们讲过，它的子群有(e)、G、(e、a)、(e、b)、te、c)、(e、d、f)。其中，不变子群有(e)、G、(e、d、f)，只有最后一个非平庸，记为H。再由H，可把G分解为(H、aH)，作对应H对fo，aH对fi，商群G/H，就是一个由(fo、fi)组成的二阶循环群。1.4同构与同态到目前为止，我们讲的都是群自身的结构。群与群之间，也有结构关系。这节要讲的同构与同态，说的就是这个。定义1.12若从群G到群F上，存在一一对应的满唤射Φ，且这个唤射本身保持群的乘法运算规律不变，也就是说G中两个元素乘积的映射，等于群G中两个元素映射的乘积，则称群G与群F同构，记作G=F。映射Φ称为同构映射。18
18 说白了，就是把每个陪集当成一个新的元素，形成的新的结构。在导言的时 候，我们说过群论研究的是集合的结构特征及其生成规律，这里的不变子群与其 商群，就是群结构特征的一个典型的例子。我们可以把商群当成是群本身，以不 变子群及其陪集为基本单元的一种超结构。 关于这些概念，我们还是通过一个例子来作具体的理解。 例10. D3 群，它的元素是{e、d、f、a、b、c}，乘法表见前面的表 1，借助乘法 表，先看它的分类情况。任何群，{e}自成一类。对 D3 群而言，a −1 = a、 b −1 = b、c −1 = c、d −1 = f、f −1 = d。 对 a，其同类元素有：d −1 ad = fad = fb = c、f −1 af = daf = dc = b、a −1 aa = a、b −1 ab = bab = bd = c、c −1 ac = cac = cf = b、。因此，a 的同类元素有 b、c。它们的阶都是 2，也形成一个类。 同理，d 的同类元素是 f，它们阶都是 3，形成一个类。D3 群有三个类。 之前我们讲过，它的子群有{e}、G、{e、a}、{e、b}、{e、c}、{e、d、f}。 其中，不变子群有{e}、G、{e、d、f}，只有最后一个非平庸，记为 H。再 由 H，可把 G 分解为{H、aH}，作对应 H 对 f0，aH 对 f1，商群 G/H，就 是一个由{f0、f1}组成的二阶循环群。 1.4 同构与同态 到目前为止，我们讲的都是群自身的结构。群与群之间，也有结构关系。这 节要讲的同构与同态，说的就是这个。 定义 1.12 若从群 G 到群 F 上，存在一一对应的满映射𝚽，且这个映射本身保 持群的乘法运算规律不变，也就是说 G 中两个元素乘积的映射，等于群 G 中两 个元素映射的乘积，则称群 G 与群 F 同构，记作 G≅F。映射𝚽称为同构映射