第3章多维随机变量及其分布概率论与数理统计教案——内容概览第3章多维随机变量及其分布四、本章知识体系图一、本章主要知识点：(X,n)的定义一维随机变1．多维随机变量（主要是二维随机(X,)的分布函数的定义、性质变量）的概念：二维随机变量的联合分布函数、离散型随机变量的联合分布律、连童X，Y相互独立时分布函数形式续型随机变量的联合概率密度的概念和性质.离散型(X,n)的定义二维随机变量的边缘分布函数、2.边缘分布律（离散型）、边缘密度（连续型）.一维离散型随机变量离散型(X,)联合分布律3.二维随机变量条件分布4.随机变量独立性的概念，离散型和连续型随机变量独立的条件.离散型（X,n)边缘分布律5．利用二维随机变量的分布计算有关事件的概率.离散型(X,n)条件分布律6.二维均匀分布和二维正态分布.X，Y相互独立时分布律形式7.两个随机变量的简单函数的分布.连续型(X,)的定义二、本章教学重点：多维随连续型(Xn联合密度一维连续型随机变量1．二维随机变量的联合分布函数，联合分机变布律，联合概率密度，常见的随机变量连续型(X,n)边缘密度圣墨及其分布的分布2.边缘分布与联合分布的关系连续型(X)条件密度3.随机变量的独立性X，Y相互独立时密度形式三、本章教学难点：(X,)~N(u,p)及X，Y相互独立的充要条件1．边缘分布及其独立性2.条件分布个随机变量幽数的分布3.随机变量函数的分布.和的分布积的分布最大最小分43-
概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 43 - 第 3 章 多维随机变量及其分布——内容概览 一、本章主要知识点： 1． 多维随机变量（主要是二维随机 变量）的概念；二维随机变量的联合分布 函数、离散型随机变量的联合分布律、连 续型随机变量的联合概率密度的概念和性 质． 2． 二维随机变量的边缘分布函数、 边缘分布律（离散型）、边缘密度（连续型）． 3． 二维随机变量条件分布 4． 随机变量独立性的概念，离散型 和连续型随机变量独立的条件． 5． 利用二维随机变量的分布计算有 关事件的概率． 6． 二维均匀分布和二维正态分布． 7． 两个随机变量的简单函数的分布． 二、本章教学重点： 1． 二维随机变量的联合分布函数，联合分 布律，联合概率密度，常见的随机变量 的分布 2． 边缘分布与联合分布的关系 3． 随机变量的独立性． 三、本章教学难点： 1． 边缘分布及其独立性 2． 条件分布 3． 随机变量函数的分布． 四、本章知识体系图:
83.1二维随机变量及其分布函数第11讲83.1二维随机变量及其分布函数授课题目理解二维随机变量的概念；理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种教学目的基本形式：会利用二维概率分布求有关事件的概率教学重点二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式教学难点连续型二维随机变量的联合分布教学过程备注参复司引入几个重要的离散型随机变量分布离散型随机变量两点分布X~(0-1)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p随机变量的可能取值为有限二项分布 X ~ B(n,P) P(X =k)=Cp*g"-k个或无限可列个k=0,1,2,",n①知道可能取值；②知道可能取值的概率，Ake-k=0,12,...泊松分布X~P(）PX=kkl几何分布X ~ G(p) P(X =k)=(1-p)* p, k= 1,2,...一维随机变量几个重要的连续型随机变量分布V0eQ,→X(0)asx<b,样本点的函数均匀分布X~U(a,b)f(x)=b-a0,其它.[ne-ix, x≥0指数分布X~E()>0f(x)=连续型随机变量0,x<oX可以取某个区间[a,b]或_(x-μ)2(-00,+o0)的一切值.2g2f(x) =正态分布 X~N(u,α2)e12元0边缘分布律离散型随机变量P(X =x)= P(X = Xx, Y<+00}= P,=pi(X,Y)可能的取值为有限对j=l或无限可列多对实数0P[Y = y)= P(X<+0, Y= y)=Zp,= p.,食联合分布函数为F(x,J)=P(X≤x,≤)=二维随机变量(X,Y)x,Sxy,SyX和Y是定义在Q上的随机变量边缘概率密度fx(x)=tf(x,y)dyfr()=[f(x,y)d1(x,y)eG连续型随机变量SG二维均匀分布f(x,y)=3F(x, y)= J[ f(u,v)dudy[0,(x,y)G二维正态分布(X,Y)~ N(μ,H,0),02;p)-44-
- 44 - §3.1 二维随机变量及其分布函数 授课题目 §3.1 二维随机变量及其分布函数 第 11 讲 教学目的 理解二维随机变量的概念；理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种 基本形式；会利用二维概率分布求有关事件的概率. 教学重点 二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式 教学难点 连续型二维随机变量的联合分布 教 学 过 程 备注 *复习引入 一维随机变量 → , ( ) X 样本点的函数 连续型随机变量 X 可以取某个区间 [a,b] 或 (−,+) 的一切值． 离散型随机变量 随机变量的可能取值为有限 个或无限可列个 ○1 知道可能取值； ○2 知道可能取值的概率． 几个重要的离散型随机变量分布 两点分布 X ~ (0 1) − P X p P X p { 1} , ( 0) 1 = = = = − 二项分布 X B n p ~ ( , ) { } , k k n k P X k C p q n − = = k n = 0,1,2, , 泊松分布 X P ~ ( ) { } , ! k P X k e k − = k = 0,1,2, 几何分布 X G p ~ ( ) 1 { } (1 ) , k P X k p p − = = − k =1,2, 几个重要的连续型随机变量分布 均匀分布 X U a b ~ ( , ) 1 , , ( ) 0, a x b f x b a = − 其它. 指数分布 X E ~ ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x − = 正态分布 2 X N~ ( , ) 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e − − = 二维随机变量 ( , ) X Y X 和 Y 是定义在 上的 随机变量 连续型随机变量 ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − = , 离散型随机变量 ( , ) X Y 可能的取值为有限对 或无限可列多对实数 边缘分布律 1 i i ij i j P X x P X x Y p p • + = = = = + = = , 1 i i ij j i P Y y P X Y y p p• + = = = + = = = , 联合分布函数为 ( , ) , = = i j ij x x y y F x y P X x Y y p 边缘概率密度 ( ) ( , ) , ( ) ( , ) X Y f x f x y dy f y f x y dx + + − − = = 二维均匀分布 1 , ( , ) ( , ) 0, ( , ) G x y G f x y S x y G = 二维正态分布 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , ; , ; ) X Y N
概率论与数理统计教案第3章多维随机变量及其分布中知识框架（1）F(x)是自变量单调不减函数3(2) 0≤F(x)≤1,F(-o0)= lim F(x)= 0,一维随机变量分布函数F(+oo)= lim F(x)=1.x为任意实数，函数F(x)=P(X≤x)x>+00(3）F(x+0)=F(x)，右连续的(4) P(a<X≤b)=F(b)-F(a)P(a≤X <b) = F(b)- F(a)+ P(X =a)(1) 有界性 0 ≤F(x,y)≤1, 且有F(-00,y)= lim F(x,y)=0F(x,-00)= lim F(x,y)=0 F(-0,-00)=limF(x,y)=0,(x,y)(4limF(x,y)=1.F(+00,+00)=二维随机变量联合分布函数(2）单调性F(x,J)关于变量x或y均是单调不减函数，即对任意固F(x,y)= P(X≤x, Y≤y)定的y，当x>x,时，有F(x,y)≥F(x2,y)：对任意固定的x，当y>y,时,有F(x,y)≥F(x,y2).(3) 右连续性F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y).(4)对任意的(x,),(x,2)，x<x2,<y2，有F(x2, y2)-F(x2, )-F(x, y)+F(x, y)≥0*讲投新保二维随机变量观世界中有许多随机现象的结果只用一个随机变量来描述是不定义1设随机试验E的样本空间为Q，随机变量X和Y是定义在Q上的随机够的，而要涉及到多个随机变量，变量，称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量(x)二、联合分布函数定义2设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数联合分布函数示意图F(x,y)=P(X≤x, Y≤y)为二维随机变量（X，Y)的分布函数或随机变量X与Y的联合分布函数，它表示随机事件(X≤x与(Y≤同时发生的概率，()如果将二维随机变量(X,Y)视为平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)描述的就是随机点(X,Y)落入点(x，y)左下方无限矩形内的概率.二维随机变量分布函数F(x,y）的性质：区域D内的概率(1)规范性：0≤F(x,J)≤1;(2) 非负性: F(-o0,y)= lim F(x,y)=0 ,-45-
概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 45 - *知识框架 *讲授新课 一、二维随机变量 定义 1 设随机试验 E 的样本空间为 ，随机变量 X 和 Y 是定义在 上的随机 变量，称 ( , ) X Y 为二维随机变量或二维随机向量． 二、联合分布函数 定义 2 设 ( , ) X Y 是二维随机变量，对于任意实数 x、y ，称二元函数 F x y P X x Y y ( ) { } , , = 为二维随机变量 (X，Y) 的分布函数或随机变量 X 与 Y 的联合分布函数，它表示随机 事件 {X x} 与 {Y y} 同时发生的概率． 如果将二维随机变量 ( , ) X Y 视为平面上随机点的坐标，则分布函数 F x y ( ) , 描述 的就是随机点 ( , ) X Y 落入点 ( ) x y ， 左下方无限矩形内的概率． 二维随机变量分布函数 F x y ( ) , 的性质： （1）规范性： 0 ( ) 1 F x y, ； （2）非负性： ( ) lim ( ) 0 x F y F x y →− − = = , , ， 观世界中有许多随机 现象的结果只用一个 随机变量来描述是不 够的，而要涉及到多 个随机变量． 联合分布函数示意图 区域 D 内的概率 二维随机变量联合分布函数 F x y P X x Y y ( ) { } , , = （1）有界性 0 ( ) 1 F x y, ，且有 ( ) lim ( ) 0 x F y F x y →− − = = , , ( ) lim ( ) 0 y F x F x y →− ，− = = , ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 0 x y F F x y → − − − − = = ， , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 1 x y F F x y → + + + + = = ， , ． （2）单调性 F x y ( ) , 关于变量 x 或 y 均是单调不减函数，即对任意固 定的 y ，当 1 2 x x 时，有 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , , ；对任意固定的 x ，当 1 2 y y 时，有 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , , ． （3）右连续性 F x y F x y ( 0 ) ( ) + = , , ， F x y F x y ( 0) ( ) , , + = ． （4）对任意的 1 1 2 2 ( ),( ) x y x y , , ， 1 2 1 2 x x , y y ，有 2 2 2 1 1 2 1 1 F x y F x y F x y F x y ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ， − − + ， ， ， ． 一维随机变量分布函数 x 为任意实数，函数 F x P X x ( ) { } = （1） F(x) 是自变量单调不减函数 3 （2） 0 ( ) 1 F x ， ( ) lim ( ) 0, x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = . （3） F(x + 0) = F(x) ，右连续的. （4） P a X b F b F a { } ( ) ( ) = − P a X b F b F a P X a { } ( ) ( ) { } = − + =
F(x,-00)= lim F(x,y)=0, F(-00,-00)=limF(x,y)=0,TVF(+o0,+o0)=limF(x,y)=1(X,V)→(+o0,+ob(3）单调性：F(x,y)关于变量x或y均是单调不减函数；(4)右连续：即有F(x+0,y)=F(x,y)及F(x,y+O)=F(x,y);(5)对任意的(),(x2,）x2,2，随机点(X,Y)落入区域D=(x,y) xi<x≤x2,yi<y≤y2)内的概率P=F(x2 2)-F(x2,)-F(x)+F(p)≥0.例1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x, y) = A(B+ arctan x)(C + arctan y)求(1) 常数A,B,C;(2) PX≤V3,Y≤1;(3) P/0<X≤V3,0<Y≤1)三、边缘分布函数二维随机变量（X,Y）的两个分量X和Y也是随机变量，实际上它们是一维随机变量，因此有各自的分布函数，分别记为Fr(x)和F,(y)。相对于(X,Y)的联合分布而言，称之为边缘分布函数定义3设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(xy)，分别称Fx(x)= P(X≤x)= P(X≤x, Y<+00)= F(x,+00)和Fr(y) = P(Y≤y) = P(X<+00, Y≤y) = F(+00, y)为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数易见，边缘分布函数可以由联合分布函数确定，即Fx(x)= F(x,+o0)= lim F(x,y)注边缘分布函数一般是Fy(y)=F(+oo, y)= lim F(x,y)不能确定联合分布函数.例2求例1.1中的二维随机变量(X,Y)的两个边缘分布函数中覌固珠司1.设连续型随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则Y的边缘分布函数为*小结二维随机变量的联合分布函数1.F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)2.二维随机变量的边缘分布函数Fx(x)=P(X≤x)=P(X≤x，Y<+o0)=F(x,+o0)Fr(y) = P(Y ≤y) = P(X <+00, Y ≤y) = F(+00, y)*作业习题3.1-P59—1，2-46-
- 46 - ( ) lim ( ) 0 y F x F x y →− ，− = = , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 0 x y F F x y → − − − − = = ， , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 1 x y F F x y → + + + + = = ， , （3）单调性： F x y ( ) , 关于变量 x 或 y 均是单调不减函数； （4）右连续：即有 F x y F x y ( 0 ) ( ) + = , , 及 F x y F x y ( 0) ( ) , , + = ； (5)对任意的 1 1 2 2 ( ),( ) x y x y , , 1 2 1 2 x x , y y ，随机点 (X,Y) 落入区域 {( , ) , } 1 2 1 2 D = x y x x x y y y 内的概率 P = 2 2 2 1 1 2 1 1 F x y F x y F x y F x y ( ) ( ) ( ) ( ) ， −−+ ， ， ， 0 ． 例 1 设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布函数为 F x y A B x C y ( , ) ( arctan )( arctan ) = + + . 求（1）常数 A,B,C ；（2） P X Y 3, 1 ;（3） P X Y 0 3,0 1 ． 三、边缘分布函数 二维随机变量 (X,Y) 的两个分量 X 和 Y 也是随机变量，实际上它们是一维随机 变量，因此有各自的分布函数，分别记为 F (x) X 和 F (y) Y ．相对于 (X,Y) 的联合分布 而言，称之为边缘分布函数． 定义 3 设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布函数为 F x y ( , ) ，分别称 F x P X x P X x Y F x X ( ) ( , ) = = + = + ， 和 F y P Y y P X Y y F y Y ( ) { } { , } ( , ) = = + = + 为二维随机变量 (X,Y) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数． 易见，边缘分布函数可以由联合分布函数确定，即 ( ) ( , ) lim ( , ) →+ X = + = y F x F x F x y ( ) ( ) lim ( , ) →+ Y = + = x F y F y F x y ， 例 2 求例 1.1 中的二维随机变量 (X,Y) 的两个边缘分布函数． 注 边缘分布函数一般是 不能确定联合分布函 数. *巩固练习 1.设连续型随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 F x y ( , ) ，则 Y 的边缘分布函数为_. *小结 1. 二维随机变量的联合分布函数 F x y P X x Y y ( , ) { , }. = 2. 二维随机变量的边缘分布函数 F x P X x P X x Y F x X ( ) ( , ) = = + = + ， F y P Y y P X Y y F y Y ( ) { } { , } ( , ) = = + = + *作业 习题 3.1- P59—1，2
第3章多维随机变量及其分布概率论与数理统计教案$3.2二维离散型随机变量第12讲$3.2二维离散型随机变量授课题目理解二维离散型随机变量分布律的概念；掌握分布律的性质；会求二维离散型教学目的随机变量的联合分布律及边缘分布律教学重点二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律教学难点二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律备注教学过程李复习引入二维随机变量(X,Y)X和Y是定义在Q上的随机变量联合分布函数边缘分布函数F(x,y)= P[X≤x,Y≤y)Fr(x)= P(X≤x)（1）有界性（2）单调性（3）右连续性= P(X≤x, Y<+00) = F(x,+00)(4) F(x2, y2)-F(x2, jy)Fy(y)= P(Y ≤ y)-F(x, y2)+F(X, y)≥0 .= P(X <+00,Y≤ y)= F(+00, y)中知识框架联合分布律P(X=x,Y=y,)=P,((i,j =1,2,..)(1)非负性p≥0，(i,j=1,2,.).=(2)规范性J(=l j=I离散型随机变量边缘分布律(X,Y)可能的取值为有限对或无限可列多对实数P[X =x)= P(X = x, Y<+00) =)ZP(X=x,Y=y)j=l-Zp=P.(i=1,2,..)j=lP(Y=y)=P(X<+0, Y=y)=ZP(X=x,Y=y)i=lZP=P.(j =1,2, )申讲投新课-47-
概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 47 - §3.2 二维离散型随机变量 授课题目 §3.2 二维离散型随机变量 第 12 讲 教学目的 理解二维离散型随机变量分布律的概念；掌握分布律的性质；会求二维离散型 随机变量的联合分布律及边缘分布律. 教学重点 二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律. 教学难点 二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律. 教 学 过 程 备注 *复习引入 *知识框架 *讲授新课 离散型随机变量 ( , ) X Y 可能的取值为有限对 或无限可列多对实数 联合分布律 { } ( 1 2, ) = = = = , ， , , P X x Y y p i j i j ij (1)非负性 = 0， ( 1 2, ) , , ij p i j ． (2)规范性 + = + = = 1 1 1 i j pij 边缘分布律 1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j j ij i j P X x P X x Y P X x Y y p p i • + = + = = = = + = = = = = = , ， 1 1 { , } ( 1 2 ) j i i i j i ij i P Y y P X Y y P X x Y y p p j • + = + = = = + = = = = = = = , ， 二维随机变量 ( , ) X Y X 和 Y 是定义在 上的 随机变量 边缘分布函数 ( ) ( , ) F x P X x X P X x Y F x = = + = + ， ( ) { } { , } ( , ) F y P Y y Y P X Y y F y = = + = + 联合分布函数 F x y P X x Y y ( , ) , = （1）有界性．（2）单调性 （3）右连续性 （4） 2 2 2 1 F x y F x y ( ) ( ) ， − ， 1 2 1 1 − + F x y F x y ( ) ( ) 0 ， ， ．