概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理第5章大数定律与中心极限定理一内容概览一、本章主要知识点：1.切比雪夫不等式。2.切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。3.林德伯格定理一列维中心极限定理，莫弗一拉普拉斯中心极限定理。二、本章教学重点1．切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律的内容和应用2.林德伯格定理一列维中心极限定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理的内容和应用。3正态分布在近似计算中的应用。三、本章教学难点大数定律，中心极限定理的条件和应用。四、本章知识体系图依概率收敛切比雪夫大数定律大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律大数定律与中心极限定理林德伯格一列维中心极限定理中心极限定理棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理用切比雪夫不等式估算概率概率计算用中心极限定理近似计算概率-83-
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 83 - 第 5 章 大数定律与中心极限定理——内容概览 一、本章主要知识点： 1. 切比雪夫不等式。 2. 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。 3. 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理。 二、本章教学重点 1. 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律的内容和应用 2. 林德伯格定理—列维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的内容和应用。 3. 正态分布在近似计算中的应用。 三、本章教学难点 大数定律, 中心极限定理的条件和应用。 四、本章知识体系图 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 理 大数定律 依概率收敛 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律 中心极限定理 林德伯格－列维中心极限定理 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 概率计算 用切比雪夫不等式估算概率 用中心极限定理近似计算概率
概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理85.1大数定律第19讲$5.1大数定律授课题目了解切比雪夫不等式；了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数教学目的定律。教学重点切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律教学难点切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律备注教学过程中复引入概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（JacobBermoulli，1654一1705），他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。书中首次提出了以“伯努利定理”著称的极限定理。“伯努利定理”是“大数定律”的最早形式。雅科布对大数定律的陈述与现代的标准概率著作十分一致。大数定律第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系，成为概率论通向广泛应用领域的桥梁。泊松推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。中知框架, P(IX-EX<e)≥1-DX切比雪夫不等式：X的期望和方差均存在，P(IX-EX)≥6)s6?切比雪夫大数定律：只要求（X，两两不相关，并不要求它们是同分布的.使DX，≤cx-Ex|<6)=1lim P)7>00n台nnAlim P伯努利大数定律：n重伯努利试验，p<=11n辛钦大数定律：不要求随机变量序列（X，的方差存在，但X，需是独立同分布的随机变量序列EX,=μ,limPZx-μ<7n-→00Unl中讲投新保一、依概率收敛定义1设X,X,,X.是一个随机变量序列，a为常数.若对任意8>0.有lim P(X, -α ≥s)=0(或 lim P(X, -a <6)=1)则称随机变量序列X依概率收敛于α，记作Xa注1.依概率收敛的条件比微积分中数列收敛的条件要弱，依概率收敛中，当n充分大时，事件(X，-α<s并不是对任意ε都成立，它具有某种不确定性。依概-84-
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 84 - §5.1 大数定律 授课题目 §5.1 大数定律 第 19 讲 教学目的 了解切比雪夫不等式；了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数 定律。 教学重点 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 教学难点 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 教 学 过 程 备注 *复习引入 概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654－1705）， 他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。书中首次提出了以“伯努利定理”著称的极限定理。“伯努 利定理”是“大数定律”的最早形式。雅科布对大数定律的陈述与现代的标准概率著作十分一致。大数 定律第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系，成为概率论通向广泛应用领 域的桥梁。泊松推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。 *知识框架 切比雪夫不等式： X 的期望和方差均存在, 2 DX P X EX − ， 2 1 DX P X EX − − . 切比雪夫大数定律：只要求 X n 两两不相关,并不要求它们是同分布的.使 DX c i ， 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n → = = − = 伯努利大数定律： n 重伯努利试验， lim 1 A n n P p n → − = . 辛钦大数定律： 不要求随机变量序列 X n 的方差存在，但 X n 需是独立同分布的随机变量序列 EXi = ， 1 1 lim 1 n i n i P X n → = − = . *讲授新课 一、依概率收敛 定义 1 设 1 2 , , , X X X n 是一个随机变量序列, a 为常数.若对任意 0 ,有 lim 0 n n P X a → − = (或 lim 1 n n P X a → − = ) 则称随机变量序列 X n 依概率收敛于 a ,记作 P X a n ⎯⎯→ . 注 1． 依概率收敛的条件比微积分中数列收敛的条件要弱，依概率收敛中，当 n 充 分大时，事件 X a n − 并不是对任意 都成立， 它具有某种不确定性． 依概
概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理率收敛的直观意义是：当n充分大时，X，几乎总是取接近于a的值2.一般地，我们把概率接近于1的事件称为大概率事件，概率接近于0的事件称为小概率事件，大概率事件在一次试验中几乎肯定要发生，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，这一规律我们称之为实际推断原理、由(InslimP1→00InIn即"p知，当n→时，p<是大概率事件，故在一次试验中Unn它几乎肯定要发生．这使得频率的稳定性有了严格的数学描述，也使得当试验次数较大时，用事件的频率来代替概率的做法有了理论依据，二、大数定律的定义【1在第次试验中事件A发生，设在n重伯努利试验中，i=1,2,.,n0在第次试验中事件A不发生，n-X,则n.=Xnisln i=l1nEX又由EX,=np，得p=-ni=1X11于是"→p即为ZEXn台nn台这样">p又可以描述为：nn个相互独立且服从0-1分布的随机变量序列X,X,*,X的算数平均值依概率收敛于它们的数学期望的算数平均值，或者说它们的算数平均值稳定在它们的数学期望的算数平均值上对于一般的随机变量序列X,X,X，（不一定相互独立，也不一定服从注切比雪夫大数定律只要求（X两两0-1分布)，它们的算数平均值在一定的条件下稳定在它们的数学期望的算数平均值不相关，并不要求它们是同分布的.如果这个常数上(X,)是独立同分布定义2设X.X，.X..是一个随机变量序列，如果的随机变量序列且方差有限，则(X,)必定挖X一旅EEX服从大数定律nn=则称X.！服从大数定律.三、几个重要的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X，X，，,X，，.·是一个两两不相关的随机切比雪夫大数定律说明：满足定理条变量序列.若每个X，的方差都存在，且有共同的上界，即存在某一常数c>0，使件的随机变量序列，-85-
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 85 - 率收敛的直观意义是：当 n 充分大时， Xn 几乎总是取接近于 a 的值． 2． 一般地，我们把概率接近于 1 的事件称为大概率事件，概率接近于 0 的 事件称为小概率事件．大概率事件在一次试验中几乎肯定要发生，小概率事件在一 次试验中几乎不可能发生， 这一规律我们称之为实际推断原理． 由 lim 1 A n n P p → n − = 即 nA ⎯⎯→P p n 知，当 n → 时， A n p n − 是大概率事件， 故在一次试验中 它几乎肯定要发生．这使得频率的稳定性有了严格的数学描述，也使得当试验次数 较大时，用事件的频率来代替概率的做法有了理论依据． 二、大数定律的定义 设在 n 重伯努利试验中， 1 1,2, , 0 i i A X i n i A = = 在第 次试验中事件 发生, 在第 次试验中事件 不发生， 则 =1 = n A i i n X ， 1 1 n A i i n X n n = = 又由 =1 = n i i EX np， 得 1 1 n i i p EX n = = 于是 nA ⎯⎯→P p n 即为 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n ． 这样 nA ⎯⎯→P p n 又可以描述为： n 个相互独立且服从 0-1 分布的随机变量序列 1 2 , , , X X Xn 的算数平均值依 概率收敛于它们的数学期望的算数平均值，或者说它们的算数平均值稳定在它们的 数学期望的算数平均值上． 对于一般的随机变量序列 X1 , X2 , , Xn , (不一定相互独立，也不一定服从 0-1 分布)， 它们的算数平均值在一定的条件下稳定在它们的数学期望的算数平均值 这个常数上． 定义 2 设 X1 , X2 , , Xn , 是一个随机变量序列， 如果 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 则称 { } Xn 服从大数定律． 三、几个重要的大数定律 定理 1 (切比雪夫大数定律) 设 X1 , X2 , , Xn , 是一个两两不相关的随机 变量序列.若每个 Xi 的方差都存在,且有共同的上界,即存在某一常数 c 0 ,使 . 注 切比雪夫大数定 律只要求 X n 两两 不相关,并不要求它 们是同分布的.如果 X n 是独立同分布 的随机变量序列且方 差有限,则 X n 必定 服从大数定律. 切比雪夫大数定 律说明:满足定理条 件的随机变量序列
概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理我们可以用它的算术DX, ≤c (i=1,2,..)平均值作为对其期望则对任意8>0，都有平均值的一种估计1i"1n1n1nSEXlimP3x -EX<8(=1> X.>--nn→00ni=ni=n=证明由切比雪夫不等式得1月OXD17nlx-12Ex|>(i=lO≥67<3ngni=lnislnY两两不相关，且方差有界，故有DDX≤nc，从而有因为X=ZAi1(i=li=l(11 n1nCZx,--EX,≥(≤P→0n→+o0，证毕，ng[n台n=l辛钦大数定律：不要求随机变量序列(x,)定理2（辛钦大数定律）设X..X.....X....·是一个独立同分布的随机变量序的方差存在.但(x.)列.若数学期望EX,=μ(i=1,2,)存在，则对任意ε>0,有需是独立同分布的随(1)12x1s机变量序列.Zx,-μ<8=1.EX,1limP-伯努利大数定律：当n>00In=lnni=l试验次数n很大时，辛钦大数定律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性，就可以利用事件发生定理3（伯努利大数定律）设n是n重伯努利试验中事件A发生的次的频率来近似地代替事件的概率。数，p（0<p<1)是事件A在每次试验中发生的概率.则对任意ε>0,有1xnA->-EXlimP3P<=1.n->00Inni=lni=贝努利大数定律是辛钦大数定律的特例，它是历史上最早的大数定律，是贝努利在1713年建立的例1若X,X,,X.…为独立同分布的随机变量序列，且(X,)的概率密度[1113,/风/≥1为 f(x)=3判断（X，）是否满足切比雪夫大数定律与辛钦大数定律的条40μ<1件.*作业习题5.1-P116—1-86-
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 86 - DX c i ( i =1,2, ) 则对任意 0 ,都有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n → = = − = 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 证明 由切比雪夫不等式得 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i D X D X n P X EX n n n = = = = − = 因为 X n 两两不相关，且方差有界，故有 1 1 n n i i i i D X DX nc = = = ，从而有 2 1 1 1 1 0, n n i i i i c P X EX n n n n = = − → → + ，证毕． 定理 2(辛钦大数定律) 设 X1 , X2 , , Xn , 是一个独立同分布的随机变量序 列.若数学期望 EX = (i = 1,2, ) i 存在, 则对任意 0 ,有 1 1 lim 1 n i n i P X n → = − = . 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 辛钦大数定律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性. 定理 3(伯努利大数定律) 设 A n 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次 数, p (0 1) p 是事件 A 在每次试验中发生的概率.则对任意 0 ,有 lim 1 A n n P p n → − = . 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 贝努利大数定律是辛钦大数定律的特例，它是历史上最早的大数定律，是贝努 利在 1713 年建立的． 例 1 若 X1 , X2 , , Xn , 为独立同分布的随机变量序列，且 { } X n 的概率密度 为 3 1 , 1 ( ) 0 , 1 x f x x x = 判断 { } X n 是否满足切比雪夫大数定律与辛钦大数定律的条 件． 我们可以用它的算术 平均值作为对其期望 平均值的一种估计. 辛钦大数定律：不要 求随机变量序列 X n 的方差存在.但 X n 需是独立同分布的随 机变量序列. 伯努利大数定律: 当 试验次数 n 很大时， 就可以利用事件发生 的频率来近似地代替 事件的概率. *作业 习题 5.1- P116—1
概率论与数理统计教案第5章大数定律与中心极限定理*小猪PxEX，称(X）服从大数定律算数平均值在一定的条件下稳定于数学期望的算数平均值随机变量序列(X,)，若一大数定律In -1ni=l条件含义结论算术平均值-X,比较紧密地聚集在它的数学期望EX的附近，可1）（x两两不相关：切比雪夫大数定律n-2）DX,≤c.注：不要求同分布以作为对其期望平均值的一种估计：肯定了取平均值的合理性。n次观察的算术平均值-之x,依概率收敛于期望值，辛钦大数定1）（X，是独立同分布TEX辛钦大数定律n-2）EX=μ存在注：不要求方差存在律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性。事件A发生的频率依概率收敛于事件A的概率，以严密的数学形式论证了频率的稳定性。当试验次数n很大时，就可以利用事件发生的频率来近似伯努利大数定律n重伯努利试验地代替事件的概率，从面为估计概率提供了一种方法DXP(IX-EX|≥e)≤方差反映随机变量的取值对其分布中心EX的集中程度的数量指标.DX~E(X)D(X)存在切比雪夫不等式DX越小，随机变量X取值于开区间（EX-&.EX+E）的概率就越大P([X-EX<e)≥1--87-
概率论与数理统计教案 第 5 章 大数定律与中心极限定理 - 87 - *小结 大数定律 随机变量序列 { } Xn ，若 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n ，称 { } Xn 服从大数定律．算数平均值在一定的条件下稳定于数学期望的算数平均值. 条件 结论 含义 切比雪夫大数定律 1） X n 两两不相关； 2） DX c i .注：不要求同分布 1 1 1 1 = = ⎯⎯→ n n P i i i i X EX n n 算术平均值 1 1 n i i X X n = = 比较紧密地聚集在它的数学期望 EX 的附近，可 以作为对其期望平均值的一种估计.肯定了取平均值的合理性。 辛钦大数定律 1） X n 是独立同分布 2） EXi = 存在注：不要求方差存在 n 次观察的算术平均值 1 1 n i i X X n = = 依概率收敛于期望值 ，辛钦大数定 律从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性. 伯努利大数定律 n 重伯努利试验 事件 A 发生的频率依概率收敛于事件 A 的概率，以严密的数学形式论证了 频率的稳定性。当试验次数 n 很大时，就可以利用事件发生的频率来近似 地代替事件的概率，从而为估计概率提供了一种方法. 切比雪夫不等式 E X D X ( ), ( ) 存在. 2 DX P X EX − 2 1 DX P X EX − − 方差反映随机变量的取值对其分布中心 EX 的集中程度的数量指标. DX 越小，随机变量 X 取值于开区间 ( , ) EX EX − + 的概率就越大