子群。而群G的非平庸子群称为固有子群。一般我们找群G的子群的时候找的是它的固有子群（非平庸子群)。例5．n阶循环群，它的定义是a"=e，由(a、a2、“…、a"-1、a"=e)组成。这样的群是Abel群，乘法可易。以6阶循环群为例,G={a、a、、a5、a°=e]，其中(e)与G是显然子群。[a2、a4、e]与[a3、e)为固有子群。例6．在定义群的乘法为数的加法的时候，整数全体形成的群是实数全体形成的群的子群。例7.绕固定轴k转动的元素形成的群(C(4))，是绕轴上某一点转动（过这点可以有无数个轴）的群SO(3)群的子群。定义1.5群元的阶：对任意一个有限群G，从中取一个元素a，从a出发作幂操作，总是可以构成G的一个循环子群Zk的，这个Z等于[a、a2、“"、ak-1、ak=e}这时称k（满足这个性质的最小的k）为群元a的阶。这个概念很好理解，但有个地方需要说明一下，就是你凭什么说“从a出发，总能构成G的一个循环子群的”？这是因为如果a=e，则Zk等于(e}，问题解决。如果，a≠e，则a2a（不然a=e)，这时，如果a2=e，则问题又解决了。如a?≠e，则它必为e与a之外的另一个元素，我把a2、a放到我的子集中，继续做a2，同样a3a2（不然a=e)、也不等于a（不然a2=e)，如果a3=e，问题解决，如a’≠e，再把a’放到那个子集中。依次类推，因为G是有限群（阶为n），所以必然存在一个k小于等于n，使得ak=e，来结束这个过程。这时，(a、a2、、ak-1ak=e|这个集合自然就形成了k阶循环子群了。例8．群元的阶的例子，对D3群，六个元素e、d、f、a、b、c。对d，从它出发d2=f,d3 =e，所以由d形成的循环子群是[e、d、f}，d的阶是 3
子群。而群 G 的非平庸子群称为固有子群。一般我们找群 G 的子群的时候找的 是它的固有子群（非平庸子群）。 例5. n 阶循环群，它的定义是a n = e，由{a、a 2、⋯ 、a n−1、a n = e}组成。这 样的群是 Abel 群，乘法可易。以 6 阶循环群为例，G = {a、a 2、 ⋯、a 5、 a 6 = e}，其中{e}与G是显然子群。{a 2、a 4、e}与{a 3、e}为固有子群。 例6. 在定义群的乘法为数的加法的时候，整数全体形成的群是实数全体形成的 群的子群。 例7. 绕固定轴k⃗⃗转动的元素形成的群{Ck⃗⃗ (Ψ)}，是绕轴上某一点转动（过这点可 以有无数个轴）的群 SO(3)群的子群。 定义 1.5 群元的阶：对任意一个有限群𝐆，从中取一个元素𝐚，从𝐚出发作幂操作， 总是可以构成𝐆的一个循环子群𝐙𝐤的，这个𝐙𝐤等于{𝐚、𝐚 𝟐、⋯ 、𝐚 𝐤−𝟏、𝐚 𝐤 = 𝐞}， 这时称𝐤（满足这个性质的最小的𝐤）为群元𝐚的阶。 这个概念很好理解，但有个地方需要说明一下，就是你凭什么说“从a出发， 总能构成G的一个循环子群的”？这是因为如果a = e，则Zk等于{e}，问题解决。 如果，a ≠ e，则a 2 ≠ a（不然a = e），这时，如果a 2 = e，则问题又解决了。如 a 2 ≠ e，则它必为e与a之外的另一个元素，我把a 2、a放到我的子集中，继续做a 3， 同样a 3 ≠ a 2（不然a = e）、也不等于a（不然a 2 = e），如果a 3 = e，问题解决，如 a 3 ≠ e，再把a 3放到那个子集中。依次类推，因为G是有限群（阶为n），所以必然 存在一个k小于等于n，使得a k = e，来结束这个过程。这时，{a、a 2、 ⋯、a k−1、 a k = e}这个集合自然就形成了k阶循环子群了。 例8. 群元的阶的例子，对 D3群，六个元素e、d、f、a、b、c。对d，从它出发， d 2 = f，d 3 = e，所以由d形成的循环子群是{e、d、f}，d的阶是 3
对f,f2=d，f3=e，所以由形成的循环子群也是[e、d、f)，的阶也是3。类似，a，a2=e，由a出发形成的循环子群是[e、a，a的阶是2；bb2=e，由b出发形成的循环子群是[e、b}，b的阶是2；c与a、b一样。说完了子群与群元的阶，下一个概念是陪集。定义1.6陪集：设H是群G的子群，H={hα}，由固定的gEG，可生成子群H的左陪集：gH =(ghα/hαEH)，也可生成子群H的右陪集：Hg=(hag/hαE H)。这个定义做两点说明。一是当H是有限子群时，陪集元素个数等于H的阶。因为不可能存在hα+ha,但ghα=ghα,或hag=hαg的情况。也就是说子群中元素与陪集中元素一一对应。二是根据这个定义，陪集可以为子群本身。如果上面取的gEH，就是。如果不属于，就不是。关于子群和陪集，除了这两点，还有一个很重要的性质，就是陪集定理。定理1.2陪集定理：设群H是群G的子群，则H的两个左（或右）陪集或者完全相同，或者没有任何公共元素。换句话说，对于一个群G,如果它按照其子群H来进行分割：G=goH、g1Hg2H、j，go=e，其中任意两个陪集g;H与g;H的关系是它们要么完全相同，要么根本没有任何公共元素。证明：(以左陪集为例）设uH、vH是不同陪集。再假设uH与vH中间有一个公共元素uhα=vhg，则有v-1uhα=hp，进而v-1u=hgha", v-luEH.这个时候，由于H本身是个群，所以由重排定理知道v-1uH=H，那么v(v-1uH)0
10 对f，f 2 = d，f 3 = e，所以由f形成的循环子群也是{e、d、f}，f的阶也是 3。类似，a，a 2 = e，由a出发形成的循环子群是{e、a}，a的阶是 2；b， b 2 = e，由b出发形成的循环子群是{e、b}，b的阶是 2； c与a、b一样。 说完了子群与群元的阶，下一个概念是陪集。 定义 1.6 陪集：设𝐇是群𝐆的子群，𝐇 = {𝐡𝛂 }，由固定的𝐠 ∈ 𝐆，可生成子群𝐇的 左陪集：𝐠𝐇 = {𝐠𝐡𝛂 |𝐡𝛂 ∈ 𝐇}，也可生成子群𝐇的右陪集：𝐇𝐠 = {𝐡𝛂𝐠|𝐡𝛂 ∈ 𝐇}。 这个定义做两点说明。一是当H是有限子群时，陪集元素个数等于H的阶。 因为不可能存在hα ≠ hα′但ghα = ghα′或hαg = hα′g的情况。也就是说子群中元素 与陪集中元素一一对应。二是根据这个定义，陪集可以为子群本身。如果上面取 的g ∈ H，就是。如果不属于，就不是。关于子群和陪集，除了这两点，还有一个 很重要的性质，就是陪集定理。 定理 1.2 陪集定理：设群𝐇是群𝐆的子群，则𝐇的两个左（或右）陪集或者完全相 同，或者没有任何公共元素。 换句话说，对于一个群G，如果它按照其子群H来进行分割：G = {g0H、g1H、 g2H、 ⋯ }，g0 = e，其中任意两个陪集giH与gjH的关系是它们要么完全相同，要 么根本没有任何公共元素。 证明：（以左陪集为例） 设uH、vH是不同陪集。 再假设uH与vH中间有一个公共元素uhα = vhβ，则有v −1uhα = hβ，进而v −1u = hβhα −1，v −1u ∈ H。 这个时候，由于H本身是个群，所以由重排定理知道v −1uH = H，那么v(v −1uH)
自然等于vH。而同时v(v-1uH)=uH。也就是说uH=vH，与假设矛盾。（证毕，右陪集证明类似）有了这个性质，我们在面对一个群的时候，按照它的一个子群和这个子群的陪集去进行分割，我们会得到什么？群是G，子群是H，它本身就是一个陪集。除了H，我们可以再取u1EG，但H，建一个H的陪集uiH，这个uiH与H是没有任何公共元素的，因为如果uzhα=hβ，则ui=hpha，与uH矛盾。这时可以将G写为H、uH、以及它们以外的元素的集合。这个时候在继续取u2属于G，但它不属于H，也不属于uiH。做陪集u2H，u2H中的u2不在eH中，也不在u,H中，所以u2H与eH、u,H完全不同依次类推，设G的阶是n，H的阶是m。则每个陪集给出的都是全新的m个群G中的元素。重复这个过程，直到把G中元素穷尽。那么这个H的陪集的个数就应该是n/m。这个n/m必须是个整数，这也就意味着子群H的阶m必为群G的阶n的因子。这个性质就是我们的第三个定理。定理1.3拉格朗日（Lagrange）定理：有限群子群的阶，必为群阶的因子。由这个定理，我们再去分析D3群的子群，我们说过它的子群有(e)、G、{ed、f)、(e、a)、(e、b)、(e、c)，这些子群的阶分别是1、6、3、2、2、2都是6的因子。用(e、d、f)来分割群的话，G=t(e、d、f)、afe、d、f),其中ated、f)对照前面的乘法表，给出的恰恰是(a、b、c)。至此，前两节结束。讲了六个定义：1）群，2）群的阶、有限群、无限群，3）Abel群，4）子群，5）循环子群与群元的阶，6）陪集。三个定理：1）重排定理，2）陪集定理，3）拉格朗日定理。在导言里面我们提到群是一个有结构的元素的集合，这三个定理是最基本的结构性质，以后很多定理的证明都会用到。第
自然等于 vH。而同时v(v −1uH) = uH。也就是说uH=vH，与假设矛盾。 （证毕，右陪集证明类似） 有了这个性质，我们在面对一个群的时候，按照它的一个子群和这个子群的 陪集去进行分割，我们会得到什么？ 群是G，子群是H，它本身就是一个陪集。除了H，我们可以再取u1 ∈ G，但 ∉ H，建一个H的陪集u1H，这个u1H与H是没有任何公共元素的，因为如果u1hα = hβ，则u1 = hβhα −1，与u1 ∉ H矛盾。这时可以将G写为H、u1H、以及它们以外的 元素的集合。这个时候在继续取u2属于G，但它不属于H，也不属于u1H。做陪集 u2H，u2H中的u2不在eH中，也不在u1H中，所以u2H与eH、u1H完全不同。 依次类推，设 G 的阶是 n，H 的阶是 m。则每个陪集给出的都是全新的 m 个 群 G 中的元素。重复这个过程，直到把 G 中元素穷尽。那么这个 H 的陪集的个 数就应该是 n/m。这个 n/m 必须是个整数，这也就意味着子群 H 的阶 m 必为群 G 的阶 n 的因子。这个性质就是我们的第三个定理。 定理 1.3 拉格朗日（Lagrange）定理：有限群子群的阶，必为群阶的因子。 由这个定理，我们再去分析 D3 群的子群，我们说过它的子群有{e}、G、{e、 d、f}、{e、a}、{e、b}、{e、c}，这些子群的阶分别是 1、6、3、2、2、2，都是 6 的因子。用{e、d、f}来分割群的话，G={{e、d、f}、a{e、d、f}}，其中 a{e、 d、f}对照前面的乘法表，给出的恰恰是{a、b、c}。 至此，前两节结束。讲了六个定义：1) 群，2) 群的阶、有限群、无限群， 3) Abel 群，4) 子群，5) 循环子群与群元的阶，6) 陪集。三个定理：1) 重排定 理，2) 陪集定理，3) 拉格朗日定理。在导言里面我们提到群是一个有结构的元 素的集合，这三个定理是最基本的结构性质，以后很多定理的证明都会用到。第
二节讲的子群和陪集是群中元素结构关系的一个方面，下面一节要讲的类与不变子群是其另一个方面。1.3类与不变子群此节中，类与不变子群是我们要重点阐明的概念。理解它们需要一个基础，这个基础是共轭。定义1.7共轭：所谓共轭，指的是群G中两个元素f、h，如果在G中存在一个g使得f、h可以通过gfg-1=h联系起来，则称f、h共轭，记为f~h。由此定义，我们首先知道共轭是相互的。因为如果gfg-1=h，则g-1hg=f,也就是g-h(g-1)-1=f，其中g-1EG。其次，我们知道共轭有传递性，也就是说fi~f2，f2~f3，则fi~f3，为什么？因为由fi~f2，我们知道，一定存在gEG，使得gfig-1=f2。而由f2~f3，我们又知道一定存在h EG，使得hf2h-1=f3。把第一个式子代入第二个，就会有hgfig-"h-1=f3，进而hgfi(hg)-1=f3。而hg是属于G的, 所以fi~f3。由此传递性，我们可以去定义类定义1.8类：群G中所有相互共轭的元素形成的集合，称为群G的一个类。由于共轭关系的传递性，我们知道一个类是可以被其中任何一个元素所确定的。这个有些像现实生活中的犯罪团伙，逮着一个，其他的也就差不多了。此比喻不一定准确，但有相似的地方。当然，你也可以用朋友类比，因为朋友一定程度上也有相互性、传递性、以及物以类聚这些特点。而就由类中任何一个元素确定这个类的操作步骤而言，很简单，对一个类中元素f，取任意g属于G，做操作gfg-1。当g走遍G中所有元素的时候，那么f的所有同类元素，没跑，就一个个全出现了。（地毯式搜捕）12
12 二节讲的子群和陪集是群中元素结构关系的一个方面，下面一节要讲的类与不变 子群是其另一个方面。 1.3 类与不变子群 此节中，类与不变子群是我们要重点阐明的概念。理解它们需要一个基础， 这个基础是共轭。 定义 1.7 共轭：所谓共轭，指的是群𝐆中两个元素𝐟、𝐡，如果在𝐆中存在一个𝐠， 使得𝐟、𝐡可以通过𝐠𝐟𝐠 −𝟏 = 𝐡联系起来，则称𝐟、𝐡共轭，记为𝐟~𝐡。 由此定义，我们首先知道共轭是相互的。因为如果gfg −1 = h，则g −1hg = f， 也就是g −1h(g −1 ) −1 = f，其中g −1 ∈ G。其次，我们知道共轭有传递性，也就是说 f1~f2，f2~f3，则f1~f3，为什么？因为由f1~f2，我们知道，一定存在g ∈ G，使得 gf1g −1 = f2。而由f2~f3，我们又知道一定存在h ∈ G，使得hf2h −1 = f3。把第一个 式子代入第二个，就会有hgf1g −1h −1 = f3，进而hgf1 (hg) −1 = f3。而hg是属于 G 的，所以f1~f3。 由此传递性，我们可以去定义类。 定义 1.8 类：群 G 中所有相互共轭的元素形成的集合，称为群 G 的一个类。 由于共轭关系的传递性，我们知道一个类是可以被其中任何一个元素所确定 的。这个有些像现实生活中的犯罪团伙，逮着一个，其他的也就差不多了。此比 喻不一定准确，但有相似的地方。当然，你也可以用朋友类比，因为朋友一定程 度上也有相互性、传递性、以及物以类聚这些特点。 而就由类中任何一个元素确定这个类的操作步骤而言，很简单，对一个类中 元素f，取任意g属于 G，做操作gfg −1。当g走遍 G 中所有元素的时候，那么 f 的 所有同类元素，没跑，就一个个全出现了。（地毯式搜捕）
由这个共轭关系和类的定义，我们还可以得出：1）一个群中的单位元素自成一类，因为对任意f属于G，fef-1=e;2）Abel群的所有元素都自成一类，因为对任意f属于G，取任意h属于G，做hfh-1 = hh-1f = f;3）设群元素f的阶为m，即fm=e，则与它同类的元素的阶也为m。这是因为乙的同类元素可以写为gfg-1，对于这个元素，(gfg-1)*=gf*g-1。当k<m时，fk不等于e，所以gfg-1也不可能为e，因为如果它为e，就有fk=e，与已知矛盾。而k=m 时，gfkg-1=geg-1=e，所以gfg-1的阶为m。最后要说明的，是按类分割群和按陪集分割群是分割群的两种方法。按陪集分割时，群元会被等分为若干部分，但按类就不一定了。同时在用gfg-1找的同类元素时，g取不同值，gfg-1可不止一次给出同一元素，比如找单位元的同类元素时，g不管取什么，gfg-1给出的都是e跟类相关的第一个定理是关于类中元素个数的，跟Lagrange定理有像的地方，内容如下。定理1.4有限群的每个类中元素的个数都是群阶的因子。（定理很简单，证明稍微有些麻烦）证明：（分三步）我们要找的是由g这个任意元素确认的类中元素的个数。第一步，先证明所有与g互易的元素h形成一个G的子群，记为Hg，这个根据子群的定义，只需证明封闭和有逆就可以了。封闭：如hig=gh1，h2g=gh2，则hih2g=high2=ghih2，也就是说hih2属于也这个集合
由这个共轭关系和类的定义，我们还可以得出： 1) 一个群中的单位元素自成一类，因为对任意 f 属于 G，fef −1 = e； 2) Abel 群的所有元素都自成一类，因为对任意 f 属于 G，取任意 h 属于 G，做 hfh −1 = hh −1 f = f； 3) 设群元素 f 的阶为 m，即f m = e，则与它同类的元素的阶也为 m。这是因为 它的同类元素可以写为gfg −1，对于这个元素，(gfg −1 ) k = gf kg −1。当 k<m 时， f k不等于 e，所以gf kg −1也不可能为 e，因为如果它为 e，就有f k = e，与已知 矛盾。而 k=m 时，gf kg −1 = geg −1 = e，所以gfg −1的阶为 m。 最后要说明的，是按类分割群和按陪集分割群是分割群的两种方法。按陪集 分割时，群元会被等分为若干部分，但按类就不一定了。同时在用gfg −1找f的同 类元素时，g 取不同值，gfg −1可不止一次给出同一元素，比如找单位元的同类元 素时，g 不管取什么，gfg −1给出的都是 e。 跟类相关的第一个定理是关于类中元素个数的，跟 Lagrange 定理有像的地 方，内容如下。 定理 1.4 有限群的每个类中元素的个数都是群阶的因子。 （定理很简单，证明稍微有些麻烦） 证明：（分三步） 我们要找的是由 g 这个任意元素确认的类中元素的个数。 第一步，先证明所有与 g 互易的元素 h 形成一个 G 的子群，记为Hg，这个根据 子群的定义，只需证明封闭和有逆就可以了。 封闭：如h1g = gh1，h2g = gh2，则h1h2g = h1gh2 = gh1h2，也就是说h1h2属于 也这个集合