同构映射的作用是：GF@fogofig1.....f9flgr1图1.2同构关系示意图把单位元素映射到单位元素，把互逆元素映射到互逆元素，不然，结构就破坏了一一对应关系也会不成立。从数学角度，两个同构的群有完全相同的结构，没有本质的区别。例11.空间反演群(E、I)与二阶循环群(e、a)完全同构。例12.三阶置换群与D3群完全同构。例13.群G的两个互为共轭的子群H与K,由定义，是存在一个固定的g属于G,使得对任意的hαEH，都有kα=ghαg-1EK与之对应。这个对应关系是一对一的，同时单位元素对应单位元素，互逆元素对应互逆元素。所以同一个群的两个共轭子群同构。比如Ds群，有三个子群(e、a)、(e、b)、(e、c),它们相互共轭，(e、c)=f(e、ajf'，它们也相互同构。同构的群有完全相同的数学结构，但是具体可指代不同内容。比如2+3=5在小孩眼里是糖，大人眼里是钱，科研工作者眼中是文章、引用、或者是真正看得懂你的文章的同行的赞。这个理解也告诉我们同构是两个群之间结构关系的最强的相似性，除了这种
同构映射的作用是： 图 1. 2 同构关系示意图 把单位元素映射到单位元素，把互逆元素映射到互逆元素，不然，结构就破坏了， 一一对应关系也会不成立。从数学角度，两个同构的群有完全相同的结构，没有 本质的区别。 例11. 空间反演群{E、I}与二阶循环群{e、a}完全同构。 例12. 三阶置换群与 D3 群完全同构。 例13. 群 G 的两个互为共轭的子群H与K，由定义，是存在一个固定的 g 属于 G， 使得对任意的hα ∈ H，都有kα = ghαg −1 ∈ K与之对应。这个对应关系是一 对一的，同时单位元素对应单位元素，互逆元素对应互逆元素。所以同一 个群的两个共轭子群同构。 比如 D3 群，有三个子群{e、a}、{e、b}、{e、c}，它们相互共轭，{e、c}=f{e、 a}f-1，它们也相互同构。 同构的群有完全相同的数学结构，但是具体可指代不同内容。比如 2+3=5， 在小孩眼里是糖，大人眼里是钱，科研工作者眼中是文章、引用、或者是真正看 得懂你的文章的同行的赞。 这个理解也告诉我们同构是两个群之间结构关系的最强的相似性，除了这种
完全的一对一且保持乘法规则，还可以把一对一这个限制弱化一下，这个就是我们下面要讲的同态。定义1.13同态：设存在从群G到群F的满映射5（注意，没有一对一了）Φ，且这个映射本身保持群的乘法运算规律不变，也就是说G中两个元素乘积的映射，等于群G中两个元素映射的乘积，则称群G与群F同态，记作G~F。映射Φ称为同态映射。同态映射的作用是：FG@30fog0··*3f图1.3同态关系示意图由于一一对应改成了多一对应，所以同态关系不可逆。这样一个定义看起来好像结构特征并不强，就是随随便便的说了一句保持乘法关系，但实际上，这一句话里面的信息已经非常大了。最为典型的一个表现就是同态核定理。在引入这个定理之前，前说一下什么是同态核定义1.14同态核：设G与F同态，那么G中与F的单位元素对应的所有元素5数学上，关于同态的严格定义是没有满映射这个要求的，他们唯一的要求是保持乘法规则。在我们的应用中，我们关注的是群的表示。在群表示的讨论中，满映射这个要求存在。为保持本讲义讨论的一致性，我们从开头就做这样一个要求。20
20 完全的一对一且保持乘法规则，还可以把一对一这个限制弱化一下，这个就是我 们下面要讲的同态。 定义 1.13 同态：设存在从群 G 到群 F 的满映射5（注意，没有一对一了）𝚽， 且这个映射本身保持群的乘法运算规律不变，也就是说 G 中两个元素乘积的映 射，等于群 G 中两个元素映射的乘积，则称群 G 与群 F 同态，记作 G~F。映射 𝚽称为同态映射。 同态映射的作用是： 图 1. 3 同态关系示意图 由于一一对应改成了多一对应，所以同态关系不可逆。 这样一个定义看起来好像结构特征并不强，就是随随便便的说了一句保持乘 法关系，但实际上，这一句话里面的信息已经非常大了。最为典型的一个表现就 是同态核定理。在引入这个定理之前，前说一下什么是同态核。 定义 1.14 同态核：设 G 与 F 同态，那么 G 中与 F 的单位元素对应的所有元素 5数学上，关于同态的严格定义是没有满映射这个要求的，他们唯一的要求是保持乘法规则。在 我们的应用中，我们关注的是群的表示。在群表示的讨论中，满映射这个要求存在。为保持本 讲义讨论的一致性，我们从开头就做这样一个要求
的集合称为同态核。对照上图，就是第一个小圈圈。定理1.7（同态核定理）设G与F同态，则有：1）同态核H是G的不变子群;2）商群G/H与F同构。（这个定理其实是把同态定义所蕴藏的极强的结构特征给说明了，因为我们如果单从同态的定义出发去直观地理解，我们可能会觉得上面图中会出现这样的情况1）与fo、f1、f2对应的G中小圈圈内g元素的个数不一定相同，因为你没说；2)每个小圈圈内的元素形成一个子集，它到底具有什么样的结构，比如说可以是子群、可以是陪集，我都不知道，因为你也没说。）（同态核定理告诉我们的信息是：1）每个小圈圈内元素个数相同；2）与F中单位元素对应的小圈圈内的g元素的集合构成G的一个子群；3）这个子群不光是子群，还是不变子群；4）其它圈圈对应的是它的陪集；5）如果把这些圈圈当成新的元素，那么这些元素的结合形成的群与F群完全同构。你说这个结构关系强不强？）证明：(分三步)第一步，先证同态核是子群。分两点1)封闭、2)有逆。封闭，对hα、hp属于同态核，我们知道它们对应的F中元素都是fo，由于乘法规则不变，那么Φ(hαhp）=Φ(hα)Φ(hp）=fofo=fo，hahg也属于同态核。有逆，ha属于同态核，要证hα也属于同态核。反证，设ha不属于同态核，它对应的元素为fi，那么就会一方面有Φ(hαha1）=Φ(go）=fo，另一方面Φ(hαha"）=Φ(ha)Φ(ha")=fofi=fi。也就是说f等于fo。这与ha1不属于H，对应的f不等于
的集合称为同态核。 对照上图，就是第一个小圈圈。 定理 1.7 （同态核定理）设 G 与 F 同态，则有： 1) 同态核 H 是 G 的不变子群； 2) 商群 G/H 与 F 同构。 （这个定理其实是把同态定义所蕴藏的极强的结构特征给说明了，因为我们如果 单从同态的定义出发去直观地理解，我们可能会觉得上面图中会出现这样的情况 1）与f0、f1、f2对应的 G 中小圈圈内 g 元素的个数不一定相同，因为你没说；2) 每个小圈圈内的元素形成一个子集，它到底具有什么样的结构，比如说可以是子 群、可以是陪集，我都不知道，因为你也没说。） （同态核定理告诉我们的信息是：1) 每个小圈圈内元素个数相同；2) 与 F 中单 位元素对应的小圈圈内的 g 元素的集合构成 G 的一个子群；3) 这个子群不光是 子群，还是不变子群；4) 其它圈圈对应的是它的陪集；5) 如果把这些圈圈当成 新的元素，那么这些元素的结合形成的群与 F 群完全同构。你说这个结构关系强 不强？） 证明：（分三步） 第一步，先证同态核是子群。分两点 1)封闭、2)有逆。 封闭，对hα、hβ属于同态核，我们知道它们对应的 F 中元素都是f0，由于乘法规 则不变，那么Φ(hαhβ) = Φ(hα )Φ(hβ) = f0f0 = f0，hαhβ也属于同态核。 有逆，hα属于同态核，要证hα −1也属于同态核。反证，设hα −1不属于同态核，它对 应的元素为fi，那么就会一方面有Φ(hαhα −1 ) = Φ(g0 ) = f0，另一方面Φ(hαhα −1 ) = Φ(hα )Φ(hα −1 ) = f0fi = fi。也就是说fi等于f0。这与hα −1不属于 H，对应的fi不等于
f.矛盾。因此假设不成立，hα属于同态核的话，hα1也属于同态核。第二步，再证H是不变子群。对VhαEH，要证ghag-1EH对VgEG成立。由映射定义，知道在作用下，ghαg-1对应：Φ(g)Φ(hα)Φ(g-1=Φ(g)foΦ(g-1)=Φ(g)Φ(g-1)=Φ(go)=fo,所以ghαg-1依然属于H,H为不变子群。第三步，G/H与F同构。在这里，商群是我们把H以及它的陪集g1H、82H、..分别都当成新的元素形成的群。要证明它与F同构，需证明：1)H与陪集串中每个集合对应F中一个元素，2)不同集合对应不同元素，这样一对一的关系成立。由于G与F本身同态，乘法关系是保持的，所以这个一对一的关系如果成立，G/H就与F同构。这两点里面第一点很好证，H中元素都对应fo，这个是因为同态核的定义。同时giH中元素都对应(gi)，记为fi。第二点，不同集合对应不同F中元素，用反证法。设g;H不等于g;H，是两个不同陪集，而它们对应的f=fj。这样的话就会有gi"gjha对应f-"fo=fo，这也就是说gigjhα属于H，进而gi"gjEH。这样的话由重排定理，就知道g;H等于gigi‘g,H，等于g;H。与已知矛盾。(证毕）总结起来，就是通过上面三步，我们说明了同态核是不变子群，且G对同态核的商群与F同构6。下面看几个例子6同时，也正是因为这种同构，以同态核及其陪集形成的群与F有完全相同结构。这样反想起来，(e)是F的不变子群，同态核是G的不变子群就再也合理不过了。这个理解是一个叫xxx的同学2
22 f0矛盾。因此假设不成立，hα属于同态核的话，hα −1也属于同态核。 第二步，再证 H 是不变子群。对∀hα ∈H，要证ghαg −1 ∈H 对∀g ∈G 成立。 由映射定义，知道在Φ作用下，ghαg −1对应：Φ(g)Φ(hα )Φ(g −1 ) = Φ(g)f0Φ(g −1 ) = Φ(g)Φ(g −1 ) = Φ(g0 ) = f0，所以ghαg −1依然属于 H，H 为不变 子群。 第三步，G/H 与 F 同构。 在这里，商群是我们把 H 以及它的陪集g1H、g2H、.分别都当成新的元素形成 的群。要证明它与 F 同构，需证明：1) H 与陪集串中每个集合对应 F 中一个元 素，2)不同集合对应不同元素，这样一对一的关系成立。由于 G 与 F 本身同态， 乘法关系是保持的，所以这个一对一的关系如果成立，G/H 就与 F 同构。 这两点里面第一点很好证，H 中元素都对应f0，这个是因为同态核的定义。同时 giH中元素都对应Φ(gi )，记为fi。第二点，不同集合对应不同 F 中元素，用反证 法。设giH不等于gjH，是两个不同陪集，而它们对应的fi = fj。这样的话就会有 gi −1 gjhα对应f i −1 fj f0 = f0，这也就是说gi −1 gjhα属于 H，进而gi −1 gj ∈ H。这样的话 由重排定理，就知道giH等于gigi −1 gjH，等于gjH。与已知矛盾。 （证毕） 总结起来，就是通过上面三步，我们说明了同态核是不变子群，且 G 对同 态核的商群与 F 同构6。下面看几个例子。 6同时，也正是因为这种同构，以同态核及其陪集形成的群与 F 有完全相同结构。这样反想起来， {e}是 F 的不变子群，同态核是 G 的不变子群就再也合理不过了。这个理解是一个叫 xxx 的同学
例14.D3群与二阶循环群Z2同态。为什么说这个成立呢？因为我们可以按照下图建立一个满映射关系，这种关系能保持乘法规律不变，@D3Z2afab图1.4D3群与二阶循环群同态关系示意图在这里，很显然(e、d、f)是同态核。如果大家翻到D:群乘法表的那一页的话，很容易看到一种超结构，就是6x6的部分可以化成以3x3为基本单元的2x2的结构。这个就是二阶循环群的超结构了。上面是由同态关系来说明商群与F同构。反过来，如果知道了商群与F同构，能否得到G与F同态呢？这个答案也是肯定的，因为前面商群的定义说的就是存在映射、且保持乘法规律不变的事情。这个时候大家可以想一下前面讲这些概念的时候的路子，基本都是由一个看似不经意的定义出发，然后挖掘出这个定义内部包含的所有意思。对于定义这句话，如果只看表面的意思，可能你会觉得没有什么。但正是这几句话，认真挖掘的话，你会深刻地体会到里面包含的元素间，或者是群的结构间镇密的结构关系。正是因为这个原因，我们讲的路子基本都是：定义、定理、定义、定理、…·，从在2018年秋季学期选课的时候课后跟我提到的，我之前没有按这个方式来想。这里写出来，供大家体会。也谢谢这位同学！
例14. D3 群与二阶循环群 Z2 同态。为什么说这个成立呢？因为我们可以按照下 图建立一个满映射关系，这种关系能保持乘法规律不变。 图 1. 4 D3 群与二阶循环群同态关系示意图 在这里，很显然{e、d、f}是同态核。如果大家翻到 D3 群乘法表的那一页 的话，很容易看到一种超结构，就是 6 x 6 的部分可以化成以 3 x 3 为基本 单元的 2 x 2 的结构。这个就是二阶循环群的超结构了。 上面是由同态关系来说明商群与 F 同构。反过来，如果知道了商群与 F 同 构，能否得到 G 与 F 同态呢？这个答案也是肯定的，因为前面商群的定义说的 就是存在映射、且保持乘法规律不变的事情。 这个时候大家可以想一下前面讲这些概念的时候的路子，基本都是由一个看 似不经意的定义出发，然后挖掘出这个定义内部包含的所有意思。对于定义这句 话，如果只看表面的意思，可能你会觉得没有什么。但正是这几句话，认真挖掘 的话，你会深刻地体会到里面包含的元素间，或者是群的结构间缜密的结构关系。 正是因为这个原因，我们讲的路子基本都是：定义、定理、定义、定理、．．．，从 在 2018 年秋季学期选课的时候课后跟我提到的，我之前没有按这个方式来想。这里写出来，供 大家体会。也谢谢这位同学！