第4章数字特征概率论与数理统计教案第4章数字特征-一内容概览-一、本章主要知识点：随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义12.随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算。3．几种重要分布的期望和方差.二、本章教学重点：1.随机变量的数字特征的定义和意义2．随机变量的数学期望的计算三、本章教学难点：随机变量函数的数学期望的计算，1.2.随机变量的相互独立与不相关的关系，四、本章知识体系图：定义性质期望计算随机变量函数的数学期望的计算随机变量的数字特征定义方差性质矩计算定义协方差性质计算定义性质相关系数计算独立与不相关的关系+-67-
概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 67 - 第 4 章 数字特征——内容概览 一、本章主要知识点： 1． 随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义． 2． 随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算． 3． 几种重要分布的期望和方差． 二、本章教学重点： 1． 随机变量的数字特征的定义和意义． 2． 随机变量的数学期望的计算． 三、本章教学难点： 1． 随机变量函数的数学期望的计算． 2． 随机变量的相互独立与不相关的关系． 四、本章知识体系图：
s4.1数学期望第16讲$4.1数学期望授课题目理解随机变量数学期望的概念：会求离散型、连续型及随机变量函数的数学期教学目的望：掌握数学期望的性质教学重点离散型、连续型及随机变量函数的数学期望的计算教学难点随机变量数学期望的概念的理解教学过程备注中复引入惠更斯于1657年出版论著《论赌博中的计算》。他在这本论著中首先引进“期望"这个术语，提出了14条命题.前三个命题：1）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金α和b，则他的期望是α+b22）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金α、b和c，则他的期望是+b+c33）如果某人在赌博中分别以概率p和g（p≥0,g≥0,p+q=1)获得赌金a和b，则他的期望是pa+qb.“期望”是指对事物提前勾画出的一种标准，达到这个标准就是达到了期望值某班共有学生30人，在一次考试中（5分制），有10人的成绩为3分，15人的成绩为4分，5人的10153×10+4×15+5×5+$x5成绩为5分，则该班级平均成绩为x=+4x=3.5=3x3030303033+4+5加权平均：=Pk算术平均：=43k=lx表示得分，f表示得分x出现的频率，以概率p,代替频率f.它是对该班级真实学习水平的综合评价，我们称之为该班级成绩的期望中加织框杂数学期望离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数定Zg(x)PkE(X)=[* xf(x)dx一维：E(X)=≥×PkE(Y)= E(g(X) = 义合k=l1. E(c) = c : E(cX)= cE(X) :性E(Y)= E(g(X)) = (g(x)f(x)dx质2. E(X +Y)= E(X)+E(Y) ; E(X)=EXE(Z)=2ZEg(xi,y,)pu-3.X，Y相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)i=l j=lE(Z)= g(x, y)f(x,y)dxdy4.XXX相互独立,E(XX.X,)-EXi=-68-
- 68 - §4.1 数学期望 授课题目 §4.1 数学期望 第 16 讲 教学目的 理解随机变量数学期望的概念；会求离散型、连续型及随机变量函数的数学期 望；掌握数学期望的性质. 教学重点 离散型、连续型及随机变量函数的数学期望的计算 教学难点 随机变量数学期望的概念的理解 教 学 过 程 备注 *复习引入 惠更斯于 1657 年出版论著《论赌博中的计算》。他在这本论著中首先引进“期望”这个术语，提出了 14 条命题．前三个命题： 1）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金 a 和 b ，则他的期望是 2 a b + ． 2）如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金 a 、b 和 c ，则他的期望是 3 abc + + ． 3）如果某人在赌博中分别以概率 p 和 q ( p q p q + = 0, 0, 1 )获得赌金 a 和 b ，则他的期望是 pa qb + ． “期望”是指对事物提前勾画出的一种标准，达到这个标准就是达到了期望值． 某班共有学生 30 人，在一次考试中（5 分制），有 10 人的成绩为 3 分，15 人的成绩为 4 分，5 人的 成绩为 5 分，则该班级平均成绩为 3 10 4 15 5 5 10 15 5 3 4 5 3.5 30 30 30 30 x + + = = + + = 算术平均： 345 4 3 + + = 加权平均： 3 =1 = k k k x x p . k x 表示得分， k f 表示得分 k x 出现的频率，以概率 k p 代替频率 k f ．它是对该班级真实学习水平的综 合评价，我们称之为该班级成绩的期望． *知识框架 数学期望 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数 定 义 一维： 1 ( ) k k k E X x p = = ( ) ( ) + − = E X xf x dx E Y E g X ( ) { ( )} = = =1 ( ) k k pk g x E Y E g X ( ) { ( )} = = g x f x dx + − ( ) ( ) E Z( ) = = 1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p E Z( ) = g x y f x y dxdy + − + − ( , ) ( , ) 性 质 1. E(c) = c ; E cX cE X ( ) ( ) = ; 2. E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + ; 1 1 ( ) n n i i i i E X EX = = = 3. X ,Y 相互独立, E(XY) = E(X)E(Y) ; 4. 1 2 , , , X X X n 相互独立, 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = =
第4章数字特征概率论与数理统计教案*讲教新保离散型随机变量的数学期望定义1设离散型随机变量X有概率分布P(X=x)=p,k=12注C若级数×P绝对收敛，则称此级数之和为随机变量X的数学期望，简称期望或1)数学期望是一个k=1数，而不是一个量。00因为X是随机变量，均值。记为E(X)，即E(X)=ZxPk其取值顺序并无特别约定.例1设X的分布列如下8V2)级数xPk绝0X-11k=l对收敛，是为了保证P0.60. 10. 3级数的和与级数各项求EX.次序无关，3)符号E(X)可以例2设甲、乙两人进行打靶，所得环数分别记为X，X，，它们的分布列分别简写为EX为4）数学期望实际上是以概率为权重的加Xi00910X28910权平均值，它反映了随机变量取值的平均P水平，故又常常把数0. 10. 50.4P0.30.30.4学期望称作“均值”5）若把随机变量看试问哪名射手的技术更好些？作数轴上的随机点，数学期望可看作随机二、连续型随机变量的数学期望变量取值的"中心”连续型随机变量的数学期望可以看成是离散型随机变量的数学期望的“演变”：将xP中的x变为x，P变为f(x)dx，变为」从而有下述定义定义2设连续型随机变量X的密度函数为f(x），若积分xf(x)dx绝对收敛，则EXxf(x)dx称为X的数学期望注1.并不是所有的随机[2x，0≤x≤1例3随机变量X的密度函数为f(x)=求X的数学期望.变量都有数学期望.其它10,2.期望E(X)完全2xdr=2可由随机变量X的xf(x)dx=解EX=[4分布所确定，3.若X服从某一分三、随机变量函数的数学期望布，也称EX)是这一分布的数学期望。定理1设Y为随机变量X的函数：Y=g(X）（g是连续函数），且EY存在，（1）X是离散型随机变量，分布律为pk=P(X=x),k=1,2,"；若级数8Zg(x)p绝对收敛，则有EY=Eg(X)=g(x)pkk=lk=l定理1 的重要意-69-
概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 69 - *讲授新课 一、离散型随机变量的数学期望 定义 1 设离散型随机变量 X 有概率分布 ( ) , 1,2, , P X x p k = = = k k 若级数 1 k k k x p = 绝对收敛，则称此级数之和为随机变量 X 的数学期望，简称期望或 均值。记为 E X( ) ，即 1 ( ) k k k E X x p = = 例 1 设 X 的分布列如下 X −1 0 1 P 0．3 0．6 0．1 求 EX ． 例 2 设甲、乙两人进行打靶，所得环数分别记为 1 2 X X, ，它们的分布列分别 为 试问哪名射手的技术更好些？ 二、连续型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望可以看成是离散型随机变量的数学期望的“演变”： 将 k k k x p 中的 k x 变为 x ， k p 变为 f x dx ( ) ， 变为 ，从而有下述定义． 定义 2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f x( ) ，若积分 xf x dx ( ) + − 绝对收 敛，则 EX xf x dx ( ) + − = 称为 X 的数学期望． 例 3 随机变量 X 的密度函数为 = 0, 其它 2 , 0 1 ( ) x x f x ，求 X 的数学期望． 解 3 2 ( ) 2 1 0 = = = + − EX x f x dx x xdx 三、随机变量函数的数学期望 定理 1 设 Y 为随机变量 X 的函数： Y = g(X ) (g 是连续函数), 且 EY 存在， （1） X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k = 1,2, ；若级数 =1 ( ) k k pk g x 绝对收敛，则有 EY Eg X = = ( ) =1 ( ) k k pk g x ． 注 1) 数学期望是一个 数，而不是一个量。 因为 X 是随机变量， 其取值顺序并无特别 约定． 2) 级 数 1 k k k x p = 绝 对收敛，是为了保证 级数的和与级数各项 次序无关． 3) 符 号 E X( ) 可 以 简写为 EX ． 4) 数学期望实际上 是以概率为权重的加 权平均值，它反映了 随机变量取值的平均 水平，故又常常把数 学期望称作“均值” 5) 若把随机变量看 作数轴上的随机点， 数学期望可看作随机 变量取值的“中心”． 注 1．并不是所有的随机 变量都有数学期望． 2．期望 E X( ) 完全 可由随机变量 X 的 分布所确定． 3．若 X 服从某一分 布，也称 E X( ) 是这 一分布的数学期望． 定理 1 的重要意
义在于：求E(Y)时，(2）X是连续型随机变量，它的分布密度为f(x)，若积分g(x)f(x)dx绝不必知道Y的分布，而只需知道X的分对收敛，则有EY=Eg(X)=g(x)f(x)dx布就可以了。定理1还可以推例4对于例1中的分布求EX2、EX、E(3X-2).例3中的分布求EX2广到两个或两个以上定理2设Z是随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)(g是连续函数)。随机变量的情形.1）（X,Y)是二维离散型随机变量，联合分布律为p,=P(X=x,Y=y,)注EX?的求法还可以先求出X2F0i, j=1,2,., 则有 EZ = Eg(X,Y)=Zg(x,y)piu：（设该级数绝对收敛）的分布列，再由期望i=l j=l的定义计算得到E(3X-2)的（2）（X,Y）是二维连续型随机变量，联合分布密度为f(x,J），则有求法，在学习了期望EZ=Eg(X,Y)=[tg(x,J)f(x,y)dxdy。（设该积分绝对收敛)的性质后，可以利用期望的性质计算得例5设二维随机变量(X，Y)的概率分布为到.注EXY的求法还可Y0231以先求出XY的分布X列，再由期望的定义1003/83/8计算得到.31/8001/8注E(X),E(Y)的求E(XY)·求法还可以先求出X和Y的边缘密度例6设二维随机变量(X,Y)在矩形域D=((x,J)[0≤x≤1,0≤y≤2)上服从函数，再由期望的定均匀分布，求E(X),E(Y)和E(XY).义计算得到。随机变量的分解法：将X分解成数个随四、数学期望的性质机变量之和101.设c是常数，则有E(c)=C.X=7x，然后2.设X是随机变量，设c是常数，则有E(cX)=cE(X）i=l利用随机变量和的期3.设X，Y是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y）：望等于期望之和，即ZEx,.推广：通过EX算出EXE(X +X, +..+X,)=1=1分解法的关键是4.设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X)E(Y）.引入合适的X，使该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若X，X，,X，相互独立，则X-x.TEX,E(X,X, ..X.)=Ii=li=l例7一民航班车上共有20名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX（设每位旅客在各车站下车是等可能的）覌圆练间-70-
- 70 - （2） X 是连续型随机变量，它的分布密度为 f (x) ，若积分 g x f x dx + − ( ) ( ) 绝 对收敛，则有 EY Eg X = = ( ) g x f x dx + − ( ) ( ) ． 例 4 对于例 1 中的分布求 2 EX 、E X 、E X (3 2) − ．例 3 中的分布求 2 EX ． 定理 2 设 Z 是随机变量 (X,Y) 的函数 Z = g(X,Y) (g 是连续函数)． （1） (X,Y) 是二维离散型随机变量，联合分布律为 { , } ij i j p P X x Y y = = = ， i j , 1,2, = ，则有 EZ Eg X Y = = ( , ) = 1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p ．（设该级数绝对收敛） （ 2 ） (X,Y) 是 二维 连续 型随机 变 量， 联合 分布 密度 为 f (x, y) ，则有 EZ Eg X Y = = ( , ) g x y f x y dxdy + − + − ( , ) ( , ) ．（设该积分绝对收敛） 例 5 设二维随机变量 (X ，Y) 的概率分布为 Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 求 E XY ( ) . 例6 设二维随机变量 (X,Y) 在矩形域 D x y x y = ( , 0 1,0 2 ) 上服从 均匀分布，求 E X( ), E Y( ) 和 E XY ( )． 四、 数学期望的性质 1． 设 c 是常数，则有 E(c) = c ． 2． 设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E(cX) = cE(X) ． 3． 设 X ，Y 是随机变量，则有 E(X +Y) = E(X) + E(Y) ． 推广： 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = + + + = ． 4． 设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X)E(Y) ． 该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若 1 2 , , , X X X n 相互独立，则 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = ． 例 7 一民航班车上共有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车， 如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求 EX （设每位旅 客在各车站下车是等可能的）． 义在于：求 E(Y) 时， 不必知道 Y 的分布， 而只需知道 X 的分 布就可以了． 定理 1 还可以推 广到两个或两个以上 随机变量的情形． 注 2 EX 的求 法还可以先求出 2 X 的分布列，再由期望 的 定 义 计 算 得 到． E X (3 2) − 的 求法，在学习了期望 的性质后，可以利用 期望的性质计算得 到． 注 EXY 的求法还可 以先求出 XY 的分布 列，再由期望的定义 计算得到． 注 E X E Y ( ), ( ) 的 求法还可以先求出 X 和 Y 的边缘密度 函数，再由期望的定 义计算得到． 随机变量的分解法： 将 X 分解成数个随 机变量之和 10 1 i i X X = = , 然 后 利用随机变量和的期 望等于期望之和,即 通过 EXi 算出 EX ． 分解法的关键是 引入合适的 Xi ,使 1 n i i X X = = ． *巩固练习
第4章数字特征概率论与数理统计教案0若<-10.25,若-1≤x<0,则E(2X2-1)=01.已知随机变量X的分布函数为：F(x)=0.75,若 0≤x<1,1若x≥1.2.下列命题正确的是（A）A.若X,Y相互独立，则必有EXY=EXEYB.若EXY=EXEY，则必X,Y相互独立D.以上都不对C.若EXY+EXEY，则XY相互独立*小结P离散型E(X)= 连续性 EX=[xf(x)dxE(X)合[Zg(xn) :Z= g(X)EY = Eg(X)=-t g(x)f(x)dxE(Z)[22g(4. ) p,Z=g(X,Y)i=l j=lE(Z)=3[ g(x, y)f(x, y)dxdyE(cX)= cE(X)E(c)=cE(X +Y)= E(X)+E(Y)E(X++X, +.+x,)- 2ex,fal性质X，Y相互独立=E(XY)=E(X)E(Y)X,X2,X,相互独立=E(XX,X,)=EXX=Zx,随机变量分解法i=l作业习题4. 1-P96—1,2,3,484.2方差84.2方差第17讲（1)授课题目理解随机变量方差的概念；2.会求离散型、连续型及随机变量函数的方差；掌教学目的握方差的性质教学重点离散型、连续型及随机变量函数方差的计算教学难点随机变量方差概念的理解备注教学过程中复司引入-71-
概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 71 - 1.已知随机变量 X 的分布函数为： ( ) 0 , 1 0.25 , 1 0 0.75 , 0 1 1 , 1 x x F x x x − − = 若 若 若 若 ＜ ， ， ， ． 则 ( ) 2 E X2 1− =0. 2.下列命题正确的是( A ). A．若 X Y, 相互独立,则必有 EXY EXEY = B．若 EXY EXEY = ,则必 X Y, 相互独立 C．若 EXY EXEY ,则 X Y, 相互独立 D．以上都不对 *小结 E X( ) 离散型 1 ( ) k k k E X x p = = 连续性 EX xf x dx ( ) + − = E Z( ) Z g X = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k g x p EY Eg X g x f x dx = + − = = Z g X Y = ( , ) 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) i j ij i j g x y p E Z g x y f x y dxdy = = + + − − = 性质 E(c) = c E(cX) = cE(X) E(X +Y) = E(X) + E(Y) 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = + + + = X ，Y 相互独立 E(XY) = E(X)E(Y) ． 1 2 , , , X X X n 相互独立 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = 1 i i X X = = 随机变量分解法 *作业 习题 4.1- P96—1,2,3,4 §4.2 方差 授课题目 §4.2 方差 第 17 讲（1） 教学目的 理解随机变量方差的概念；2.会求离散型、连续型及随机变量函数的方差；掌 握方差的性质. 教学重点 离散型、连续型及随机变量函数方差的计算 教学难点 随机变量方差概念的理解 教 学 过 程 备注 *复习引入