第一章群的基本概念1.1群定义1.1群：设G是一些元素（操作）的集合，记为G=（，g，小，在G中定义了乘运算，如果G中元素对这种运算满足下面四个条件：1）封闭性：V两个元素（操作）的乘积仍属于这类元素（操作）的集合42）结合律：对v三个元素（操作）f、g、h，有(fg)h=f(gh);3）有唯一单位元素e，使得对vfEG，有ef=fe=f;4）对vf EG，存在且唯一存在f-1属于G，使f-1f =ff-1=e这时我们称G是一个群，其中元素是群元，e为其单位元素，f-1为f的逆。去理解这个定义，我们先看一些例子。例1.1.一个集合有两个操作E和I，E作用三维欧式空间中任一向量上，得到本身，作用这个上，得到-。问[E，1])是否形成一个群?考虑这种问题的时候，就去想群的定义。两个元素，操作组合有4种，E·E、E·I、I·E、I·I，其中任何一个作用到上，结果不是就是-，所以效果与E或者I作用到上一致，封闭性满足结合律，类似(E·I)·E=E·(I·E)的关系对于这三个位置怎么填都成立唯一单位元素E。逆元素，E的逆是E，的逆是I所以[E，1)形成一个群，称为空间反演群。例2．这样一系列操作的集合，它们中每一个操作，都把1、2、…、n这n个4包含元素和其本身乘积。4
4 第一章 群的基本概念 1.1 群 定义 1.1 群：设𝐆是一些元素（操作）的集合，记为𝐆 = {⋯，g，⋯}，在𝐆中定义 了乘运算，如果𝐆中元素对这种运算满足下面四个条件： 1) 封闭性：∀两个元素（操作）的乘积仍属于这类元素（操作）的集合4； 2) 结合律：对∀三个元素（操作）𝐟、𝐠、𝐡，有(𝐟𝐠)𝐡 = 𝐟(𝐠𝐡)； 3) 有唯一单位元素 e，使得对∀𝐟 ∈ 𝐆，有𝐞𝐟 = 𝐟𝐞 = 𝐟； 4) 对∀𝐟 ∈ 𝐆，存在且唯一存在𝐟 −𝟏属于 G，使𝐟 −𝟏 𝐟 = 𝐟𝐟 −𝟏 = 𝐞； 这时我们称𝐆是一个群，其中元素是群元，𝐞为其单位元素，𝐟 −𝟏为𝐟的逆。 去理解这个定义，我们先看一些例子。 例1.1. 一个集合有两个操作E和I，E作用三维欧式空间中任一向量r⃗上，得到r⃗本 身，I作用这个r⃗上，得到−r⃗。问{E，I}是否形成一个群？ 考虑这种问题的时候，就去想群的定义。两个元素，操作组合有 4 种， E ∙ E、E ∙ I、I ∙ E、I ∙ I，其中任何一个作用到r⃗上，结果不是r⃗就是−r⃗，所以 效果与E或者I作用到r⃗上一致，封闭性满足。 结合律，类似(E ∙ I) ∙ E = E ∙ (I ∙ E)的关系对于这三个位置怎么填都成立。 唯一单位元素E。 逆元素，E的逆是E，I的逆是I。 所以{E，I}形成一个群，称为空间反演群。 例2. 这样一系列操作的集合，它们中每一个操作，都把 1、2、.、n 这 n 个 4 包含元素和其本身乘积
数，一对一的对应到1、2、…、n这n个数上。比如P=(1 2 ...1式2.1mn(m1m2...就是把1、2、、n对应到m1、m2、、mn上，其中m1、m2、..mn是1、2、.、n的任意排列。注意,在这个标记。(、 。 .) ) ( m 5是一样的，因为它们的效果都是把1变为m1、2变为m2、…（以此类推）现在我们来看这样的操作的集合是否形成群？1．封闭性：不管怎么变，1、2、.、n这n个数都是变到这n个数上，封闭性满足；2．结合律：设Pi是把1变为2，P2是把2变为3，P3是把3变为4，那么式2.2(P;P2)P3=[(1→2)(2→3))(3→4)=(1→3)(3→4)=(1→4)式2.3P1(P2P3)=(1-2)[(2→3)(3→4))=(1—2)(2—→4)=(1→4)两者相等，结合律成立3．单位元：有且唯一，什么都不变的那个操作4．逆：存在且唯一，你变过去我再变回来所以这些元素的集合也构成一个群，我们称为n阶置换群，它的群元的个数是n!。在物理上，处理全同粒子体系的时候，会经常用到这一类群，我们后面会专门介绍。例3．是个几何图形的对称性，有三维欧式空间的一个正三角形，顶点是A、B、c
数，一对一的对应到 1、2、.、n 这 n 个数上。比如 𝑃 = ( 1 2 . . m1 m2 . . n mn ) 式 2.1 就是把 1、2、.、n 对应到m1、m2、.、mn上，其中m1、m2、.、 mn是 1、2、.、n 的任意排列。 注意，在这个标记中( 1 2 . . m1 m2 . . n mn )与( 2 1 . . m2 m1 . . n mn )是一样 的，因为它们的效果都是把 1 变为m1、2 变为m2、.（以此类推） 现在我们来看这样的操作的集合是否形成群？ 1． 封闭性：不管怎么变，1、2、.、n 这 n 个数都是变到这 n 个数上， 封闭性满足； 2． 结合律：设 P1 是把 1 变为 2，P2 是把 2 变为 3，P3 是把 3 变为 4，那 么 (P1P2)P3=[(1→2)(2→3)](3→4)=(1→3)(3→4)=(1→4) 式 2.2 P1(P2P3)=(1→2)[(2→3)(3→4)]=(1→2)(2→4)=(1→4) 式 2.3 两者相等，结合律成立 3． 单位元：有且唯一，什么都不变的那个操作 4． 逆：存在且唯一，你变过去我再变回来 所以这些元素的集合也构成一个群，我们称为 n 阶置换群，它的群元的个 数是 n!。在物理上，处理全同粒子体系的时候，会经常用到这一类群，我 们后面会专门介绍。 例3. 是个几何图形的对称性，有三维欧式空间的一个正三角形，顶点是 A、B、 C
BC1图1.1D：群示意图对于这样一个三角形，它有六个纯转动可以使自身回到自身的操作，分别是:1. e: 不动;2.d:绕z轴转2元/3;3.f:绕z轴转4元/3;4.a:绕1轴转元;5.b:绕2轴转元;6.c:绕3轴转元;现在问：这六个操作是否形成群？这个答案肯定还是按我们上面的思路来走，看它是否满足那四个条件？但与此同时，我们还可以借用一下前面讲的置换群的概念，因为这些操作无非是将（A、B、C）对应到（A、B、C）上去，而这六个几何操作又恰恰和三阶置换群的六个变换一一对应。因此它们形成一个群。既然形成一个群，现在我们看它们的乘法关系。d操作干的事情是B(A B ),而 a 操作干的事情是(A), 因此:BCACAB(ALACCB(A6B(AC(ACd·a:式2.4AACBLBA(AAC(BA6
6 图 1.1 D3 群示意图 对于这样一个三角形，它有六个纯转动可以使自身回到自身的操作，分别 是： 1. e：不动； 2. d：绕 z 轴转 2π/3； 3. f：绕 z 轴转 4π/3； 4. a：绕 1 轴转 π； 5. b：绕 2 轴转 π； 6. c：绕 3 轴转 π； 现在问：这六个操作是否形成群？ 这个答案肯定还是按我们上面的思路来走，看它是否满足那四个条件？ 但与此同时，我们还可以借用一下前面讲的置换群的概念，因为这些操作 无非是将（A、B、C）对应到（A、B、C）上去，而这六个几何操作又恰 恰和三阶置换群的六个变换一一对应。因此它们形成一个群。 既然形成一个群，现在我们看它们的乘法关系。d 操作干的事情是 ( A B C B C A )，而 a 操作干的事情是( A B C A C B )，因此： d ∙ a = ( A B C B C A ) ( A B C A C B ) = ( ( A B C A C B ) ( A C B B A C ) ) = ( A B C B A C ) = c 式2.4
重复类似运算，可得完整乘法表：fb-adfbeac0afCbeadbffecafbedacafdbbaCebdfcaCe表1.1D;群乘法表这样一个群叫D，群，它是图形中的三角形的纯转动群，当我们除了转动还包含反射、反演这些操作的时候，群元就会再多一些，群也不是这个D群了。这里的D3群只包含转动操作。例4．定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是其中的单位元素，n与-n互逆。同理，全体实数也在这个乘法规则下构成一个群，全体复数也是。但如果我们把乘法定义为数乘，那么它们就不再是群了，因为这种情况下单位元素只能是1，而0是没有逆的。现在我们知道群是定义了乘法且满足一定规律的元素的组合，下面我们看一下跟群相关的两个定义与一个定理。定义1.2有限群与无限群：群内元素个数称为群的阶，当群阶有限时，称为有限群，当群阶无限时，称为无限群。（这个学期我们主要讲有限群）定义1.3Abel群：群的乘法一般不可交换（这个在群的定义里面没有体现，因此在一般的群中也不需要遵守，比如D3中ad就不等于da)，当群中元素乘法可以任意互换时，这个群称为Abel群。（由这个定义我们很容易想象Abel群的乘
重复类似运算，可得完整乘法表： e d f a b c e e d f a b c d d f e c a b f f e d b c a a a b c e d f b b c a f e d c c a b d f e 表 1.1 D3 群乘法表 这样一个群叫 D3 群，它是图形中的三角形的纯转动群，当我们除了转动 还包含反射、反演这些操作的时候，群元就会再多一些，群也不是这个 D3 群了。这里的 D3 群只包含转动操作。 例4. 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0 是其中的单位元素， n 与-n 互逆。 同理，全体实数也在这个乘法规则下构成一个群，全体复数也是。 但如果我们把乘法定义为数乘，那么它们就不再是群了，因为这种情况下 单位元素只能是 1，而 0 是没有逆的。 现在我们知道群是定义了乘法且满足一定规律的元素的组合，下面我们看一 下跟群相关的两个定义与一个定理。 定义 1.2 有限群与无限群：群内元素个数称为群的阶，当群阶有限时，称为有限 群，当群阶无限时，称为无限群。（这个学期我们主要讲有限群） 定义 1.3 Abel 群：群的乘法一般不可交换（这个在群的定义里面没有体现，因 此在一般的群中也不需要遵守，比如 D3 中 ad 就不等于 da），当群中元素乘法可 以任意互换时，这个群称为 Abel 群。（由这个定义我们很容易想象 Abel 群的乘
法表都应该是相对于对角线对称的）定理1.1重排定理：设G={，gα，j,对VuEG,当gα取遍G中所有元素时，ugα给出且仅仅一次给出G中所有元素。证明：两个方面，1)任何G中元素都可以由ugα给出，2)仅仅一次给出1.给出。对任意gβ属于G，可取u-1gβEG，使得：u(u-1gβ）=g2.仅仅一次给出。反证：设有gαgα使得ugα=ugα，那么就会有：u-ugα=u-ugα进而gα=gα与假设矛盾。至此，第一节结束。四个内容，三个定义（群，有限、无限群、Abel群），一个定理（重排)。这些讲的都是群本身的性质，不牵扯其内部结构。既然要理解群这个元素集合的结构特性，对其内部结构的认识不可避免。下面的内容很自然与内部结构有关，子群与陪集。1.2子群与陪集定义1.4子群：设H是群G的一个子集（部分元素的集合），若对群G相同的乘法运算，H也构成一个群，则称H为G的子群。这里需要注意的地方是和G相同的乘法。同时，上面我们定义群的时候，用了四个条件。原则上，定义子群也需要这四个条件1）封闭性、2）结合律、3）单位元、4）每个元素唯一逆。但因为H属于G，又是相同的乘法，所以结合律自然成立。同时，如果4)满足，则有属于H时，f-1也属于H，只要封闭性成立，e自然属于H。因此，在证明子集为子群时，只要1)与4)成立就可以了。显然(e)与G本身都是G的子群，由于太明显，所以称为显然子群，或平庸88
8 法表都应该是相对于对角线对称的） 定理 1.1 重排定理：设𝐆 = {⋯，𝐠𝛂，⋯}，对∀𝐮 ∈ 𝐆，当𝐠𝛂取遍𝐆中所有元素时， 𝐮𝐠𝛂给出且仅仅一次给出𝐆中所有元素。 证明： 两个方面，1)任何G中元素都可以由ugα给出，2)仅仅一次给出。 1. 给出。对任意gβ属于G，可取u −1gβ ∈ G，使得：u(u −1gβ) = gβ 2. 仅仅一次给出。 反证：设有gα ≠ gα′，使得ugα = ugα′，那么就会有：u −1ugα = u −1ugα′，进 而gα = gα′，与假设矛盾。 至此，第一节结束。四个内容，三个定义（群，有限、无限群、Abel 群）， 一个定理（重排）。这些讲的都是群本身的性质，不牵扯其内部结构。既然要理 解群这个元素集合的结构特性，对其内部结构的认识不可避免。下面的内容很自 然与内部结构有关，子群与陪集。 1.2 子群与陪集 定义 1.4 子群：设 H 是群 G 的一个子集（部分元素的集合），若对群 G 相同的 乘法运算，H 也构成一个群，则称 H 为 G 的子群。 这里需要注意的地方是和 G 相同的乘法。同时，上面我们定义群的时候，用 了四个条件。原则上，定义子群也需要这四个条件 1) 封闭性、2) 结合律、3) 单 位元、4) 每个元素唯一逆。但因为 H 属于 G，又是相同的乘法，所以结合律自 然成立。同时，如果 4)满足，则有f属于 H 时，f −1也属于 H，只要封闭性成立， e 自然属于 H。因此，在证明子集为子群时，只要 1)与 4)成立就可以了。 显然{e}与 G 本身都是 G 的子群，由于太明显，所以称为显然子群，或平庸