aL=0aQ(t)这个式子，代入运动方程，就有：d al5=0dt aQ(t)而aL/aQ(t)对应动量，故由平移不变性可推出动量守恒。现在数学说完了、物理说完了，前面我们提到，《群论》这门课是在一个正常的大学里面数学、物理、化学三个系都会开的。化学家在我们这门学科的发展过程中起了什么样的作用呢？应该说和我们物理学家同等重要。具体而言就是他们在将这个理论应用到具体物性研究中扮演了重要的角色。最具代表性的领域是理论化学，很关键的一个人物是鲍林（Linus Pauling)。这个人非常了不起，如果说他是最具影响力的几个化学家之一与最具影响力的理论化学家（没有之一），应该不为过。他是第一个将量子力学基本原理、分子轨道、分子设计这些概念引入到化学研究中的人。也是我们现在公认的量子化学、分子生物学的开创人。这里为什么要这样推崇鲍林呢？原因很简单，我们科学，往广义的说，就是用理性的观点去认知客观世界，这个理性的基本工具是数学。在我们认知的过程中，由于侧重点的不同，科学会分化出很多学科，比如物理、比如化学、比如生物。我们物理关注的是物质的存在形式与运动规律，化学关注的是不同物质放在一起的反应，而生物关注的是生命的行为。我们相互之间是不应该排斥的。以物理和化学为例，笔者在早期受教育的时候，始终认为它们是两个东西。直到做科研，才意识到现在的凝聚态物理的研究中其实是非常需要化学知识的；而同时量子化学，说白了，就是将量子力学基本原理应用到具体分子与凝聚态体系的行为描述中去。应该说是物理和化学两个大的学科的交融，才使得两者都发展到了目前的这个相当成熟的状态，而最早去推动这种交融的人，鲍林就是代表。这个人
𝜕𝐿 𝜕𝑄(𝑡) = 0 这个式子，代入运动方程，就有： d d𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑄̇(𝑡) = 0 而𝜕𝐿/𝜕𝑄̇(𝑡)对应动量，故由平移不变性可推出动量守恒。 现在数学说完了、物理说完了，前面我们提到，《群论》这门课是在一个正 常的大学里面数学、物理、化学三个系都会开的。化学家在我们这门学科的发展 过程中起了什么样的作用呢？应该说和我们物理学家同等重要。具体而言就是他 们在将这个理论应用到具体物性研究中扮演了重要的角色。最具代表性的领域是 理论化学，很关键的一个人物是鲍林（Linus Pauling）。这个人非常了不起，如 果说他是最具影响力的几个化学家之一与最具影响力的理论化学家（没有之一）， 应该不为过。他是第一个将量子力学基本原理、分子轨道、分子设计这些概念引 入到化学研究中的人。也是我们现在公认的量子化学、分子生物学的开创人。 这里为什么要这样推崇鲍林呢？原因很简单，我们科学，往广义的说，就是 用理性的观点去认知客观世界，这个理性的基本工具是数学。在我们认知的过程 中，由于侧重点的不同，科学会分化出很多学科，比如物理、比如化学、比如生 物。我们物理关注的是物质的存在形式与运动规律，化学关注的是不同物质放在 一起的反应，而生物关注的是生命的行为。我们相互之间是不应该排斥的。以物 理和化学为例，笔者在早期受教育的时候，始终认为它们是两个东西。直到做科 研，才意识到现在的凝聚态物理的研究中其实是非常需要化学知识的；而同时量 子化学，说白了，就是将量子力学基本原理应用到具体分子与凝聚态体系的行为 描述中去。应该说是物理和化学两个大的学科的交融，才使得两者都发展到了目 前的这个相当成熟的状态，而最早去推动这种交融的人，鲍林就是代表。这个人
本身是个化学家，美国人，笔者认为对他科研影响最大的一段经历，应该是他在1926-1927年在欧洲游学的这个时候。在这里他接触到了ArnoldSommerfeld（索未菲，1869-1951，德国人）、NielsBohr（玻尔，1885-1962，丹麦人）、ErwinSchrodinger（薛定逻，1887-1961，奥地利人）等人。他在这里接受了量子力学的训练，之后他敏锐得意识到这个东西在化学中的应用，并且开始用这些原理去研究化学中的现象，比如分子轨道、分子振动谱，等等。这些都是我们目前的科学研究中运用群论的最为直接的例子，在后面我们会详细讲。在之前推荐的参考书中，AlbertCotton的那本《Chemical applicationsofgrouptheory》就是一个典型的化学家写的群论教材。相比于我们物理学家写的教材，会更实际、易读。最后总结一下，我们这个学期要学习的群论，确实是人类文明在过去两百多年间发展出来的一个精华，是我们认识我们所处在的这个世界本质的重要工具在我们日常的科学研究中，起着非常重要的作用。此讲义内容为基础部分，说来简单，但要想学明白，也需要花费很大的功夫。因此，谨慎选课、认真对待！灸
xx 本身是个化学家，美国人，笔者认为对他科研影响最大的一段经历，应该是他在 1926-1927 年在欧洲游学的这个时候。在这里他接触到了 Arnold Sommerfeld（索 末菲，1869-1951，德国人）、Niels Bohr（玻尔，1885-1962，丹麦人）、Erwin Schrödinger（薛定谔，1887-1961，奥地利人）等人。他在这里接受了量子力学的 训练，之后他敏锐得意识到这个东西在化学中的应用，并且开始用这些原理去研 究化学中的现象，比如分子轨道、分子振动谱，等等。这些都是我们目前的科学 研究中运用群论的最为直接的例子，在后面我们会详细讲。在之前推荐的参考书 中，Albert Cotton 的那本《Chemical applications of group theory》就是一个典型的 化学家写的群论教材。相比于我们物理学家写的教材，会更实际、易读。 最后总结一下，我们这个学期要学习的群论，确实是人类文明在过去两百多 年间发展出来的一个精华，是我们认识我们所处在的这个世界本质的重要工具， 在我们日常的科学研究中，起着非常重要的作用。此讲义内容为基础部分，说来 简单，但要想学明白，也需要花费很大的功夫。因此，谨慎选课、认真对待！
目录前言课程导言目录第一章群的基本概念21.1群1.2子群与陪集81.3类与不变子群1.4同构与同态181.5变换群261.6直积与半直积311.7习题与思考29第二章群表示理论422.1群表示422.2等价表示、不可约表示、酉表六522.3群代数与正则表示.632.4有限群表示理论712.5特征标理论90
目录 前言.ii 课程导言.iv 目录. 1 第一章 群的基本概念. 4 1.1 群 . 4 1.2 子群与陪集 . 8 1.3 类与不变子群 . 12 1.4 同构与同态 . 18 1.5 变换群 . 26 1.6 直积与半直积 . 31 1.7 习题与思考 . 39 第二章 群表示理论. 42 2.1 群表示 . 42 2.2 等价表示、不可约表示、酉表示 . 52 2.3 群代数与正则表示 . 63 2.4 有限群表示理论 . 71 2.5 特征标理论 . 90
2.6新表示的构成982.7 习题与思考17第三章点群与空间群1193.1点群基础1193.2第一类点群1373.3第二类点群1533.4晶体点群与空间群1651933.5晶体点群的不可约表示3.6习题与思考203第四章群论与量子力学.2054.1哈密顿算符群与相关定理2064.2微扰引起的能级分裂.2184.3投影算符与久期行列式的对角化2224.4矩阵元定理与选择定则、电偶极跃迁2404.5红外、拉曼谱、和频光谱.2444.6平移不变性与Bloch定理2534.7布里渊区与晶格对称性2584.8时间反演对称性2614.9习题与思考2662
2 2.6 新表示的构成 . 98 2.7 习题与思考 . 117 第三章 点群与空间群. 119 3.1 点群基础 . 119 3.2 第一类点群 . 137 3.3 第二类点群 . 153 3.4 晶体点群与空间群 . 165 3.5 晶体点群的不可约表示 . 193 3.6 习题与思考 . 203 第四章 群论与量子力学. 205 4.1 哈密顿算符群与相关定理 . 206 4.2 微扰引起的能级分裂 . 218 4.3 投影算符与久期行列式的对角化 . 222 4.4 矩阵元定理与选择定则、电偶极跃迁 . 240 4.5 红外、拉曼谱、和频光谱 . 244 4.6 平移不变性与 Bloch 定理. 253 4.7 布里渊区与晶格对称性 . 258 4.8 时间反演对称性 . 261 4.9 习题与思考 . 266
第五章转动群2675.1SO(3)群与二维特殊酉群SU(2)2685.2SO(3)群与SU(2)群的不可约表示.2785.3双群与自旋半奇数粒子的旋量波函数2855.4Clebsch-Gordan系数299第六章置换群3016.1n阶置换群3026.2杨盘及其引理3106.3多电子原子本征态波函数324参考文献.338附录A晶体点群的特征标表342附录B空间群情况说明..357360附录C晶体点群的双群的特征标表附录D置换群部分相关定理与引理证明374
第五章 转动群. 267 5.1 SO(3)群与二维特殊酉群 SU(2) . 268 5.2SO(3)群与 SU(2)群的不可约表示. 278 5.3 双群与自旋半奇数粒子的旋量波函数 . 285 5.4 Clebsch-Gordan 系数 . 299 第六章 置换群. 301 6.1 n 阶置换群. 302 6.2 杨盘及其引理 . 310 6.3 多电子原子本征态波函数 . 324 参考文献. 338 附录 A 晶体点群的特征标表 . 342 附录 B 空间群情况说明. 357 附录 C 晶体点群的双群的特征标表 . 360 附录 D 置换群部分相关定理与引理证明. 374