阿贝尔），他们工作的初衷是求一元五次方程的解，但结果是建立了群论。而后面这些人，从凯莱开始，他们的主要工作，就是完善这个由前人提出的理论了。这些名字以及与他们相关的定理，在后面的教学中我们会慢慢接触到。怎么把解一元五次方程和《群论》这门学科联系起来，背后的道理其实很简单。前面我们提到了，在费拉里之后，两百多年，欧洲各位顶级的数学家都尝试着利用配方、换元这些数学手段去求四次以上方程的根式解，但都没成功。这种情况下，按科学规律而言，一般传统思维肯定就不行了。这个就像我们把自己关在一个屋子里，你的前辈科学家，各个聪明绝顶，他们把这个屋子的每个角落都进行了仔细的搜寻，都没有找到。这个时候你应该去意识到是不是这个屋子有另外一个维度你并不知道？你需要打破传统思维去找到这个维度？物理史上我们都知道的一个例子就是人们黑体辐射，在19世纪未20世纪初，传统经典的思想是怎么都不可能在长波和短波区域同时给出合理解释的。这个时候，人们就需要去拓展自己的思维了，而把思维扩展开来的这些人，就是我们眼中的天才了，比如普朗克（当然普朗克常数的产生更多的是数学上的处理，而不是思想深处的理解或信念）、比如爱因斯坦（大家一定不要受一些科普读物的误导，他实际上是量子力学发展最大的一个推动者之一，从思想层面。光电效应是他解释的，德布罗意的波粒二象性也是他最早支持的，这些都是突破思维定式的典型例子。只是在后期，他从一个数学物理学家的视角，不喜欢玻尔这些人对量子力学的一些实用性解释。除了量子力学，狭义与广义相对论也是更典型的例子)。在五次及其以上一元方程根式解的问题上，认识到这一点的最早的人物是拉格朗日。从拉格朗日，到鲁菲尼，到迦罗瓦与阿贝尔，他们做的事情是开始从数的结构，也就是常说的数论的角度去考虑这些问题了。具体而言，其中拉格朗日Xiv
xiv 阿贝尔），他们工作的初衷是求一元五次方程的解，但结果是建立了群论。而后 面这些人，从凯莱开始，他们的主要工作，就是完善这个由前人提出的理论了。 这些名字以及与他们相关的定理，在后面的教学中我们会慢慢接触到。 怎么把解一元五次方程和《群论》这门学科联系起来，背后的道理其实很简 单。前面我们提到了，在费拉里之后，两百多年，欧洲各位顶级的数学家都尝试 着利用配方、换元这些数学手段去求四次以上方程的根式解，但都没成功。这种 情况下，按科学规律而言，一般传统思维肯定就不行了。这个就像我们把自己关 在一个屋子里，你的前辈科学家，各个聪明绝顶，他们把这个屋子的每个角落都 进行了仔细的搜寻，都没有找到。这个时候你应该去意识到是不是这个屋子有另 外一个维度你并不知道？你需要打破传统思维去找到这个维度？物理史上我们 都知道的一个例子就是人们黑体辐射，在 19 世纪末 20 世纪初，传统经典的思想 是怎么都不可能在长波和短波区域同时给出合理解释的。这个时候，人们就需要 去拓展自己的思维了，而把思维扩展开来的这些人，就是我们眼中的天才了，比 如普朗克（当然普朗克常数的产生更多的是数学上的处理，而不是思想深处的理 解或信念）、比如爱因斯坦（大家一定不要受一些科普读物的误导，他实际上是 量子力学发展最大的一个推动者之一，从思想层面。光电效应是他解释的，德布 罗意的波粒二象性也是他最早支持的，这些都是突破思维定式的典型例子。只是 在后期，他从一个数学物理学家的视角，不喜欢玻尔这些人对量子力学的一些实 用性解释。除了量子力学，狭义与广义相对论也是更典型的例子）。 在五次及其以上一元方程根式解的问题上，认识到这一点的最早的人物是拉 格朗日。从拉格朗日，到鲁菲尼，到迦罗瓦与阿贝尔，他们做的事情是开始从数 的结构，也就是常说的数论的角度去考虑这些问题了。具体而言，其中拉格朗日
干的事情是利用置换的概念，去理解了三次和四次方程为什么有解；鲁菲尼干的事情是利用同样地思想去说明了五次方程不可代数求解。之后就是迦罗瓦和阿贝尔了，他们干的事情是彻底地在代数方程的可解性与其对应的置换群之间建立了联系，指出了n次方程有解的充要条件，以及说明一般的五次方程没有根式解。在他们四个里面，前面两个是奠定基础的，迦罗瓦与阿贝尔是真正利用群这个概念去解决这个问题的。我们现在会把后两个当作是《群论》这门学科的奠基人3。在数学家建立了《群论》的概念体系之后，我们物理学家做了什么呢？我想比较有代表性的是下面三个方面的工作：建议到wikipedia 去看一下这两个少年天才的生平。笔者在课上尽量介绍每个科学家的生平，就是希望我们在学习科学的同时，不要脱离科学家本身所处的时代背景。科学上重大进步的产生，都是以由科学家本身的时代背景、学科背景综合起来诱发的。学生时代应尽量了解这些，这样你才会对你的学科发展的规律产生一定的理解。只有理解了每个发现背后那些让人热血沸腾的故事与逻辑，你才能真正理解教科书上那些冷冰冰的文字背后的内涵迦罗瓦被认为是浪漫主义关才的代表。传说他投稿三次，第一次的审稿人是柯西，第二次的审稿人是傅立叶，两次都没有发表，柯西让他把论文写的好懂一些，他没有听，傅立叶接到稿件没几关自己都挂了，第三次投稿的时候，迦罗瓦本人已经因为决斗牺牲了，他的朋友帮他投的，这次的审稿人是雅可比和高斯，但这些大佬其实没有时间仔细看。后来这个稿件又沉睡多年，在得到了刘维尔的肯定后最终发表。从这些审稿人，我们应该可以感受到19世纪法国数学的强大。阿贝尔生平最大的标签，除了天才，就是贫穷。他是挪威人，挪威在当时欧洲科学的版图中可以说是彻底的边缘。他自己本身很优秀，但找教职一直不顺。27岁死于贫困与疾病，死后收到了柏林大学的聘书，令人晞嘘。）
干的事情是利用置换的概念，去理解了三次和四次方程为什么有解；鲁菲尼干的 事情是利用同样地思想去说明了五次方程不可代数求解。之后就是迦罗瓦和阿贝 尔了，他们干的事情是彻底地在代数方程的可解性与其对应的置换群之间建立了 联系，指出了 n 次方程有解的充要条件，以及说明一般的五次方程没有根式解。 在他们四个里面，前面两个是奠定基础的，迦罗瓦与阿贝尔是真正利用群这个概 念去解决这个问题的。我们现在会把后两个当作是《群论》这门学科的奠基人3。 在数学家建立了《群论》的概念体系之后，我们物理学家做了什么呢？我想 比较有代表性的是下面三个方面的工作： 3建议到 wikipedia 去看一下这两个少年天才的生平。笔者在课上尽量介绍每个科学家 的生平，就是希望我们在学习科学的同时，不要脱离科学家本身所处的时代背景。科学上重 大进步的产生，都是以由科学家本身的时代背景、学科背景综合起来诱发的。学生时代应尽 量了解这些，这样你才会对你的学科发展的规律产生一定的理解。只有理解了每个发现背后 那些让人热血沸腾的故事与逻辑，你才能真正理解教科书上那些冷冰冰的文字背后的内涵。 迦罗瓦被认为是浪漫主义天才的代表。传说他投稿三次，第一次的审稿人是柯西，第二次的 审稿人是傅立叶，两次都没有发表，柯西让他把论文写的好懂一些，他没有听，傅立叶接到 稿件没几天自己都挂了，第三次投稿的时候，迦罗瓦本人已经因为决斗牺牲了，他的朋友帮 他投的，这次的审稿人是雅可比和高斯，但这些大佬其实没有时间仔细看。后来这个稿件又 沉睡多年，在得到了刘维尔的肯定后最终发表。从这些审稿人，我们应该可以感受到 19 世 纪法国数学的强大。阿贝尔生平最大的标签，除了天才，就是贫穷。他是挪威人，挪威在当 时欧洲科学的版图中可以说是彻底的边缘。他自己本身很优秀，但找教职一直不顺。27 岁 死于贫困与疾病，死后收到了柏林大学的聘书，令人唏嘘。）
1．几何晶体学的发展，晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及他们在晶体学中的应用。这个的主要发展时间是19世纪末、20世纪初，代表人物是ArthurMoritzSchoneflies（熊夫利，1853-1928，德国犹太人）CarlHermann（苏赫尔曼，1998-1961，德国人）、CharlesVictorMauguin（毛古因，1878-1958，法国人）。后面讲点群空间群的时候我们会讲到他们。2．对称性与守恒量之间的关系，这个代表人物是诺特，她是个典型的数学物理学家。她没得诺奖，不过这个不影响她本身的伟大。物以类聚，套用现在的语言就是如果用微信的话她朋友圈是爱因斯坦、希尔伯特这种人，她也被这些人称为数学史上最伟大的女性。诺特定理的基本内容是"any differentiable symmetry of the action of a physical system has acorrespondingconservationlaw"，也可以说是任何一个保持拉格朗日量不变的微分算符，都对应一个守恒的物理量。下面这张图是我从《赛先生》上面2015年6月20号发的一篇文章上摘下来的（作者是UTAustin的张天蓉博士），很形象得描述了这个规律：空调移一iSO(3)时妈采移-次只对称旋转对称对称axdt拉格朗日量不变角动量守恒动量守恒能量守恒图0.2诺特定理，对称性与守恒量关系示意图比如空间平移对称性对应动量守恒、时间平移对称性对应能量守恒、旋转对称性对应角动量守恒，等等。这些规律我们现在其实是都把它们当常识了。它们究竟怎么来的？我们一会儿会用平移不变性对应动量守恒xvi
xvi 1. 几何晶体学的发展，晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及他们 在晶体学中的应用。这个的主要发展时间是 19 世纪末、20 世纪初，代 表人物是 Arthur Moritz Schöneflies（熊夫利，1853-1928，德国犹太人）、 Carl Hermann（赫尔曼，1998-1961，德国人）、Charles Victor Mauguin（毛 古因，1878-1958，法国人）。后面讲点群空间群的时候我们会讲到他们。 2. 对称性与守恒量之间的关系，这个代表人物是诺特，她是个典型的数学 物理学家。她没得诺奖，不过这个不影响她本身的伟大。物以类聚，套 用现在的语言就是如果用微信的话她朋友圈是爱因斯坦、希尔伯特这种 人，她也被这些人称为数学史上最伟大的女性。诺特定理的基本内容是 “any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以说是任何一个保持拉格朗日量不 变的微分算符，都对应一个守恒的物理量。下面这张图是我从《赛先生》 上面 2015 年 6 月 20 号发的一篇文章上摘下来的（作者是 UT Austin 的 张天蓉博士），很形象得描述了这个规律： 图 0.2 诺特定理，对称性与守恒量关系示意图 比如空间平移对称性对应动量守恒、时间平移对称性对应能量守恒、旋 转对称性对应角动量守恒，等等。这些规律我们现在其实是都把它们当 常识了。它们究竟怎么来的？我们一会儿会用平移不变性对应动量守恒
作为一个例子（经典力学范畴内的一个问题），来个推导。同时需要说明：我们目前都知道的GaugeTheory（规范场论），应该说是沿着这条路继续的、更加深入的发展。它的基本思想是系统的Lagrangiar（拉格朗日量）在一个连续的局域变换（规范变换）下保持不变。规范这个词本意是scale（伸缩因子)，但后来人们发现它的真实物理对应其实是相位。现代物理研究中，它通指拉格朗日量多余的自由度。不同规范间的变换（也就是我们常说的规范变换），形成了一个可以解析表达的具有微分流形性质的连续群，就是李群。在《群论二》，我们会学到每个李群都有自己的群生成元。而每个群生成元，会产生一个矢量场。这个失量场，就是规范场。这些对经典理论和量子理论都是成立的。在量子理论中，这个规范场的量子被称为规范玻色子。以我们最熟悉的电磁场为例，量子电动力学理论就是个阿贝尔的规范理论，它的阿贝尔的对称群是U(1)群，它的规范场就是由电势Φ与磁势A形成的四分量矢量场(ΦA)，它的规范玻色子就是光子。近年来应该说用规范场的理论去统一很多模型，比如量子力学、电动力学、量子色动力学，是物理学最大的挑战。群论在中间发挥着重要的作用。3.对称性在量子力学中的应用，这个代表人物是维格纳[2-3]。他也因为这方面的研究得了1963年的诺贝尔物理奖（1/2，另外两个人分那1/2），他获奖原因，原话是forhiscontributionstothetheoryoftheatomicnucleusand the elementary particles, particularly through the discovery andapplication of fundamental symmetry principles"。例1.平移不变性与动量守恒
作为一个例子（经典力学范畴内的一个问题），来个推导。 同时需要说明：我们目前都知道的 Gauge Theory（规范场论），应该说是 沿着这条路继续的、更加深入的发展。它的基本思想是系统的 Lagrangian （拉格朗日量）在一个连续的局域变换（规范变换）下保持不变。规范 这个词本意是 scale（伸缩因子），但后来人们发现它的真实物理对应其 实是相位。现代物理研究中，它通指拉格朗日量多余的自由度。不同规 范间的变换（也就是我们常说的规范变换），形成了一个可以解析表达的、 具有微分流形性质的连续群，就是李群。在《群论二》，我们会学到每个 李群都有自己的群生成元。而每个群生成元，会产生一个矢量场。这个 矢量场，就是规范场。这些对经典理论和量子理论都是成立的。在量子 理论中，这个规范场的量子被称为规范玻色子。以我们最熟悉的电磁场 为例，量子电动力学理论就是个阿贝尔的规范理论，它的阿贝尔的对称 群是 U(1)群，它的规范场就是由电势𝜙与磁势𝐴⃗形成的四分量矢量场(𝜙， 𝐴⃗)，它的规范玻色子就是光子。近年来应该说用规范场的理论去统一很 多模型，比如量子力学、电动力学、量子色动力学，是物理学最大的挑 战。群论在中间发挥着重要的作用。 3. 对称性在量子力学中的应用，这个代表人物是维格纳[2-3]。他也因为这 方面的研究得了 1963 年的诺贝尔物理奖（1/2，另外两个人分那 1/2）， 他获奖原因，原话是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。 例 1．平移不变性与动量守恒
考虑一个封闭的力学系统，无外力，那么这个系统的运动方程是由其作用量（Action）决定的。这个Action是L[q(t), q(t)] dt设Q(t)这个函数是粒子的实际轨道，而q(t)是对这个实际轨道的偏移，那么，由最小作用量原理，我们知道对实际轨道有：812(aLdt = 0q(t)(ag(t)dtaq(t))q(t)=Q(t)对任意 t、t2成立。既然它对任意t1、t2成立，自然就会有：(aLd= 0(aq(t) = dt ag(t)lq(t)=0(t)这样一个式子。这个式子就是牛顿方程（我们理解这个问题的第一步）。现在引入平移不变性（第二步），对任意平移a，有I[Q(t2) +a,Q(t) + a] = I[Q(t2),Q(t1)]这个式子左边为：I[Q(t2) + a, Q(t) + a] = /L[Q(t) + a, Q(t)]dt（平移不改变微分项），继续等于：2al"[[Q(t),Q(t)]dt + Q(t) α dt+(a*)而右边为：I[0(t2),Q(t")] = ["[0(t),Q(t)]dt等式对任意a、任意t1、t2都成立，所以有：xvili
xviii 考虑一个封闭的力学系统，无外力，那么这个系统的运动方程是由其作用量 （Action）决定的。这个 Action 是 I = ∫ L[q(t), q̇(t)] t2 t1 dt 设 Q(t)这个函数是粒子的实际轨道，而 δq(t)是对这个实际轨道的偏移，那么，由 最小作用量原理，我们知道对实际轨道有： δ𝐼 δ𝑞(𝑡) = ∫ { 𝜕𝐿 𝜕𝑞(𝑡) − d d𝑡 ∂𝐿 𝜕𝑞̇(𝑡) }| 𝑞(𝑡)=𝑄(𝑡) d𝑡 = 0 𝑡2 𝑡1 对任意 t1、t2 成立。 既然它对任意 t1、t2 成立，自然就会有： { 𝜕𝐿 𝜕𝑞(𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞̇(𝑡) }| 𝑞(𝑡)=𝑄(𝑡) = 0 这样一个式子。这个式子就是牛顿方程（我们理解这个问题的第一步）。 现在引入平移不变性（第二步），对任意平移𝑎，有 𝐼[𝑄(𝑡2 ) + 𝑎,𝑄(𝑡1 ) + 𝑎] = 𝐼[𝑄(𝑡2 ),𝑄(𝑡1 )] 这个式子左边为： 𝐼[𝑄(𝑡2 ) + 𝑎,𝑄(𝑡1 ) + 𝑎] = ∫ 𝐿[𝑄(𝑡) + 𝑎,𝑄̇(𝑡)]d𝑡 𝑡2 𝑡1 （平移不改变微分项），继续等于： ∫ 𝐿[𝑄(𝑡), 𝑄̇(𝑡)]d𝑡 𝑡2 𝑡1 + ∫ 𝜕𝐿 𝜕𝑄(𝑡) 𝑎 d𝑡 𝑡2 𝑡1 + ∆(a 2 ) 而右边为： 𝐼[𝑄(𝑡2 ),𝑄(𝑡1 )] = ∫ 𝐿[𝑄(𝑡), 𝑄̇(𝑡)]d𝑡 𝑡2 𝑡1 等式对任意𝑎、任意𝑡1、𝑡2都成立，所以有：