代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的结构特征及其生成的规律的一门学科。根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理解一下刚才讲到的各章都是干什么的？1.群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律2.群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性代数）；3．点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类具体的群；4.群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用5.转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）；6.置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群）。根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理"。人们基于对这些“数理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的问题有更深入的认识
代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征 的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且 要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的 结构特征及其生成的规律的一门学科。 根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理 解一下刚才讲到的各章都是干什么的？ 1. 群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律； 2. 群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性 代数）； 3. 点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作 的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类 具体的群； 4. 群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用； 5. 转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）； 6. 置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群）。 根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及 其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一 般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们 对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理”。人们基于对这些“数 理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很 大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的 问题有更深入的认识
就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拨。一拨是做得比较理论的老师。相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拨是做物质科学相关研究的，相应教材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者，此讲义只希望将《群论一》讲清楚。至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群论的历史以及在物理和化学中的应用。前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在19世纪发展起来的。在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是：1）几何学，从19世纪开始，有个德国数学家，叫AugustFerdinandMobius（莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和正常的环比起来就不再有A、B面了。这个概念在拓扑上比较有用；2）数论，这个是在18世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用到过一些群论中尚处在维形阶段的概念；3）第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群的概念，进而建立起了群论这个理论体系。现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代数）中很重要的部分，并把它作为十九世纪最伟大的数学成就来看待
x 就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拨。一拨是做得比较理论的老师。 相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拨是做物质科学相关研究的，相应教 材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者， 此讲义只希望将《群论一》讲清楚。 至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于 好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现 在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群 论的历史以及在物理和化学中的应用。 前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在 19 世纪发展起来的。 在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是： 1) 几何学，从 19 世纪开始，有个德国数学家，叫 August Ferdinand Möbius （莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开 始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多 的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和 正常的环比起来就不再有 A、B 面了。这个概念在拓扑上比较有用； 2) 数论，这个是在 18 世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用 到过一些群论中尚处在雏形阶段的概念； 3) 第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科 的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群 的概念，进而建立起了群论这个理论体系。 现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代 数）中很重要的部分，并把它作为十九世纪最伟大的数学成就来看待
而关于这个学科诞生的细节很数学。想真正理解的话，需要对抽象代数这门课有深刻的认识（笔者自己曾经尝试着去看了一些，花了很大精力，但最后发现这个确实超出能力范围)。这里跟大家分享的，只是一些hand-waving（没有坚实的理论基础，试图显得有效，但并没有触及实质内容）的认识。刚才提到，最直接的导致群论诞生的诱因是代数方程理论的发展。代数方程大家都知道，一元一次的是ax+b=0，一元二次的是ax2+bx+c=0。它们的解析根式解我们在中学的时候就学过一元三次方程和一元四次方程有没有和它们类似的根式解？答案：有。对一元三次和四次方程，早期人们是可以利用配方和换元的方法把它们变成低次方程来求解的。比方说ar3+bx2+cx+d=0这样一个式子，a+0。人们怎么做呢？先换元，取y=×+%，把它代入上式，企图把x的一般的一元三次方程变成y的一元三次方程。而这个y的一元三次方程，不再是一个一般的一元三次方程而是具有特殊形式的一元三次方程。过程如下：a()+()+()+=0a(y3-by2 +b2)b2bb)+(-)+α=0)+b(2-3av+9az)y* -+ 3az-27a)+（-题)(+%-2)。3a)二次项不见了，一元三次方程变成了y+py+q=0，这里p、q都是由a、b、c、d确定的常数。而这样的一个特殊形式的一元三次方程，是有根式解的。这个里面有个故事，时间是16世纪，地点是意大利。当时在欧洲的数学界，去寻求
而关于这个学科诞生的细节很数学。想真正理解的话，需要对抽象代数这门 课有深刻的认识（笔者自己曾经尝试着去看了一些，花了很大精力，但最后发现 这个确实超出能力范围）。这里跟大家分享的，只是一些 hand-waving（没有坚实 的理论基础，试图显得有效，但并没有触及实质内容）的认识。 刚才提到，最直接的导致群论诞生的诱因是代数方程理论的发展。代数方程， 大家都知道，一元一次的是 ax + b=0，一元二次的是 ax 2+bx+c=0。它们的解析根 式解我们在中学的时候就学过。 一元三次方程和一元四次方程有没有和它们类似的根式解？ 答案：有。 对一元三次和四次方程，早期人们是可以利用配方和换元的方法把它们变成 低次方程来求解的。 比方说 ax 3+bx 2+cx+d=0 这样一个式子，a≠0。人们怎么做呢？ 先换元，取𝑦 = 𝑥 + b 3a，把它代入上式，企图把𝑥的一般的一元三次方程变成 𝑦的一元三次方程。而这个𝑦的一元三次方程，不再是一个一般的一元三次方程， 而是具有特殊形式的一元三次方程。过程如下： a (𝑦 − b 3a) 3 + b (𝑦 − b 3a) 2 + c (𝑦 − b 3a) + d = 0 a (𝑦 3 − b a 𝑦 2 + b 2 3a 2 𝑦 − b 3 27a 3 ) + b (𝑦 2 − 2b 3a 𝑦 + b 2 9a 2 ) + c (𝑦 − b 3a) + d = 0 a𝑦 3 + (c − b 2 3a ) 𝑦 + (d + 2b2 27a 2 − bc 3a) = 0 二次项不见了，一元三次方程变成了 y 3+py+q=0，这里 p、q 都是由 a、b、 c、d 确定的常数。而这样的一个特殊形式的一元三次方程，是有根式解的。这个 里面有个故事，时间是 16 世纪，地点是意大利。当时在欧洲的数学界，去寻求
一元三次方程的解是一个时尚，就像我们现在物理学界对高温超导机制的研究一样2。因为当时的历史背景是文艺复兴（Renaissance)，所以在学术上最活跃的地区很自然的就是意大利（大家可以去想，哥白尼、布鲁诺、伽利略这三个现代科学的鼻祖里，两个意大利人，一个哥白尼是波兰人，但基本在意大利生活)。代表人物有两个，NiccoloFontana（冯塔纳，1499-1557）和GirolamoCardano（卡尔达诺，也叫卡丹，1501-1576)。传说第一个想出这个特殊方程根式解是冯塔纳但此君比较喜欢通过故弄玄虚来显示自己的聪明，不把话说明。因此，虽然当时有很多人相信他会解这个方程，但没有任何文献记录（当时的出版业并没有现在这么发达，不然一个arXiv就解决问题了）。而卡丹呢，比较低调务实，传说中他跟冯塔纳讨教过，这个冯塔纳用很隐晦的语言进行了提示，但他认为以卡丹的悟性根本理解不了。但结果是人家愣把它想明白了，并且在他的著作《大术》（ArsMagna，1545）中给了一些详细的解释。因为这个，现在我们在讨论一元三次方程的根式解的时候，想到的第一个人物往往是卡丹，只是在很少的文献中才会对当时冯塔纳的工作有所提及。上面那个特殊一元三次方程的解，人们也习惯于叫卡丹公式：-+)+(*+--+yi=[() +() +a2:-2- J(2) +()Y2 = W :2当时人们经常针对类似问题进行数学比武。友
xii 一元三次方程的解是一个时尚，就像我们现在物理学界对高温超导机制的研究一 样2。因为当时的历史背景是文艺复兴（Renaissance），所以在学术上最活跃的地 区很自然的就是意大利（大家可以去想，哥白尼、布鲁诺、伽利略这三个现代科 学的鼻祖里，两个意大利人，一个哥白尼是波兰人，但基本在意大利生活）。代 表人物有两个，Niccolo Fontana（冯塔纳，1499-1557）和 Girolamo Cardano（卡 尔达诺，也叫卡丹，1501-1576）。传说第一个想出这个特殊方程根式解是冯塔纳， 但此君比较喜欢通过故弄玄虚来显示自己的聪明，不把话说明。因此，虽然当时 有很多人相信他会解这个方程，但没有任何文献记录（当时的出版业并没有现在 这么发达，不然一个 arXiv 就解决问题了）。而卡丹呢，比较低调务实，传说中他 跟冯塔纳讨教过，这个冯塔纳用很隐晦的语言进行了提示，但他认为以卡丹的悟 性根本理解不了。但结果是人家愣把它想明白了，并且在他的著作《大术》（Ars Magna，1545）中给了一些详细的解释。因为这个，现在我们在讨论一元三次方 程的根式解的时候，想到的第一个人物往往是卡丹，只是在很少的文献中才会对 当时冯塔纳的工作有所提及。上面那个特殊一元三次方程的解，人们也习惯于叫 卡丹公式： 𝑦1 = √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 𝑦2 = 𝜔 ∙ √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + 𝜔 2 ∙ √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 2当时人们经常针对类似问题进行数学比武
++--+4Y3 = w2. +2这个里面w=-1+V3i。这个是关于一元三次方程根式解的故事。过程其实已经很麻烦了，不然不会让冯塔纳犯那个错误。对一元四次，之后人们又用相似方法做了努力，由卡丹的学生LodovicoFerrari（费拉里，1522-1565，意大利人）给出了根式解，这个结果也是在卡丹的那本1545年的《ArsMagna》里面发表的。那么五次、六次及其以上又是什么情况呢？同样，在1545年以后也继续成为欧洲数学界的时尚。但两百年过去了，却始终没有任何进展。34+121I dare you tofindasolution图0.1一元高次方程根式解当这个问题有下一步进展的时候，也就到了我们《群论》作为一门学科出现的时候了。这个前后发展的时间有一百多年，从1770年代开始，到19世纪未结束。其中的代表人物包括Joseph-LouisLagrange（拉格朗日，1736-1813，意大利人，绝大部分时间工作在德国与法国)、PaoloRuffini（鲁菲尼，1765-1822，意大利人）、EvaristeGalois（迦罗瓦，1811-1832，法国人）、NielsHenrikAbel（阿贝尔，1802-1829，挪威人）、ArthurCayley（凯莱，1821-1895，英国人）、FerdinandGeorgFrobenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917，德国人）、WilliamBurnside（勃恩赛德，1852-1927，英国人）、FriedrichHeinrichSchur（舒尔，1856-1932，德国人）、MariusSophusLie（李，1842-1899，挪威人）这些数学家。其中前面这些人（到
𝑦3 = 𝜔 2 ∙ √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + 𝜔 ∙ √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 这个里面𝜔 = −1 + √3i。 这个是关于一元三次方程根式解的故事。过程其实已经很麻烦了，不然不会 让冯塔纳犯那个错误。对一元四次，之后人们又用相似方法做了努力，由卡丹的 学生 Lodovico Ferrari（费拉里，1522-1565，意大利人）给出了根式解，这个结果 也是在卡丹的那本 1545 年的《Ars Magna》里面发表的。那么五次、六次及其以 上又是什么情况呢？同样，在 1545 年以后也继续成为欧洲数学界的时尚。但两 百年过去了，却始终没有任何进展。 图 0.1 一元高次方程根式解 当这个问题有下一步进展的时候，也就到了我们《群论》作为一门学科出现 的时候了。这个前后发展的时间有一百多年，从 1770 年代开始，到 19 世纪末结 束。其中的代表人物包括 Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813，意大利 人，绝大部分时间工作在德国与法国）、Paolo Ruffini（鲁菲尼，1765-1822，意大 利人）、Évariste Galois（迦罗瓦，1811-1832，法国人）、Niels Henrik Abel（阿贝 尔，1802-1829，挪威人）、Arthur Cayley（凯莱，1821-1895，英国人）、Ferdinand Georg Fröbenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917，德国人）、William Burnside（勃恩 赛德，1852-1927，英国人）、Friedrich Heinrich Schur（舒尔，1856-1932，德国人）、 Marius Sophus Lie（李，1842-1899，挪威人）这些数学家。其中前面这些人（到