《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 Euclid空间 8.4 对称变换和对称矩阵

3.对称变换的性质定理8.4.3实对称矩阵的特征根都是实数证设A=(α）是一个n阶实对称矩阵.令入是A在复数域内一个特征根.于是存在不全为零的复数ciC2，….c,使得2

3. 对称变换的性质 定理8.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数. 证 设A=(aij)是一个n阶实对称矩阵.令λ是A在复数域内一个 特征根.于是存在不全为零的复数c1, c2 , ., cn使得               =               n cn c c c c c A   2 1 2 1 (2) λ

令c表示c的共轭复数.用矩阵（c，c.c）左乘（2）的两边得CCC2C2(C,C2,...,C.)A=2(Ci,C2,..,Cn)..即22a,e,c,=2c,c,(3)等式（3）两端取轭复数，注意a，是实数.得ace, =c,e,(4)1=

( ) ( )               =               n n n n c c c c c c c c c c c c A     2 1 1 2 2 1 1 2 , , , λ , , , (3) ∑= ∑= ∑= = n i i i n i n j aijci c j c c 1 1 1 λ 等式(3)两端取轭复数，注意aij是实数.得 即 i n i i n i n j ∑∑aijci c j ∑c c = = = = 1 1 1 (4) λ ( ) c c cn , , , 令 ci表示ci 的共轭复数.用矩阵 1 2  左乘(2)的两边得