太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.3）全微分

ut ed 第三节』全微 各分 全微分的定义 二可微的条件

第三节 全微分 一 全微分的定义 二 可微的条件

全增量的概念 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)的某邻域内 有定义,并设P(x+△x,y+-y)为这邻域内的 任意一点,则称这两点的函数值之差 f(x+Ax,y+y)-∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量^x,^y的全增 量,记为△z 即△z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y) 上一页下一页返回

全增量的概念 如果函数 在点 的某邻域内 有定义，并设 为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 z = f (x, y) (x, y) P(x + x, y + y) 即 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 对应于自变量增量 的全增 量，记为 z P x,y f (x + x, y + y) − f (x, y)

、全微分的定义 如果函数z=f(x,y在点(x,y)的全增量 A=f(x+Ax,y+y)-∫(X,y)可以表示为 A=AAx+B小y+0(p),其中A,B不依赖于 Ax,y而仅与x,有关,p=√(△x)2+(4y) 则称函数乙=f(x2y在点(x,y)微分, Ax+BAy称为函数=f(x,y在点x,y)的 全微分,记为,即z=AA+BAy 函数若在某区域D内各点处处可微分, 则称这函数在D内可微分 上一页下一页返回

一、全微分的定义 函数若在某区域 内各点处处可微分， 则称这函数在D 内可微分. D 如果函数 在点 的全增量 可以表示为 ，其中A, B不依赖于 而仅与 有关， ， 则称函数 在点 可微分， 称为函数 在点 的 全微分，记为 ，即 . z = f (x, y) (x, y) z = f (x + x, y + y) − f (x, y) z = Ax + By + o() x,y x, y 2 2  = (x) + (y) z = f (x, y) (x, y) Ax + By z = f (x, y) (x, y) dz dz = Ax + By

可微的条件 定理1 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续 事实上A=A△x+BAy+0(p) limf(x+Ax,y+)=limf(x,y)+△乙] y->0 f(,y) 故函数z=∫(x,y)在点(x,y)处连续 上一页下一页返回

lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 二 、可微的条件 如果函数 在点 可微分, 则 函数在该点连续. 定理1 z = f (x, y) (x, y) 事实上 z = Ax + By + o() 故函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续

定理2(必要条件)如果函数=f(x,y)在点 (x,y)可微分,则该函数在点x,y)的偏导数、 ax z 必存在,且函数z=∫(x,y点x2y)的全微分 为 z x+△ ax 上一页下一页返回

定理 2（必要条件） 如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 、 必存在，且函数 在点 的全微分 为 x z   y z   y y z x x z dz     +   = z = f (x, y) z = f (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)